Question

$P(x)^2-2= 2P(2x^2-1)$ eşitliğini sağlayan bütün polinomları bulun

Comments

$P$'nin kat sayilari nereden ve tanim araligi nedir acaba?

---

Sen bu soruların cevabını biliyor musun? (Yani düşünelim mi?)

---

Hocam diger ikisi neyse de, bu biraz zor gibi. (Zorluk:) Cunku bunun saglayani var. En azindan sabit fonksiyon kosuluyla bulunabiliyor. Ben biraz baktim epey var gibi.

---

http://imomath.com/index.php?options=346&lmm=0

---

Güzel sorular varmış..

---

Arada sirada matematik olimpiyatlari sorularina bakip begendiklerimi soruyorum, bu da onlardan bir soru. Yukarida linki verilmis zaten.

Answer 1

Linkteki cevabin cevrilmis hali:

$P(1)=a$ olsun. O halde $a^2-2a-2=0$ olur. Simdi $$P(x)=(x-1)P_1(x)+a$$ olarak yazalim, denklemde yerine koyup sadelestirdigimizde
$$(x-1)P_1(x)^2+2aP_1(x)=$(x+1)P_1(2x^2-1)$$

esitligini elde ederiz. $x=1$ icin
$$2aP_1(1)=8P_1(1)$$

ve yukaridaki ilk $a$ tanimimizda $a \neq 4$ oldugundan $P_1(1)=0$ olur. O halde 

$$P_1(x)=(x-1)P_2(x)$$

olarak yazalim. Yani
$$P(x)=(x-1)^2P_2(x)+a$$

olur. $P_2(x)$'in $(x-1)$ bolenlerini disariya atalim. O halde bir adet $Q(x)$ var ki $Q(1) \neq 0$ ve 

$$P(x)=(x-1)^nQ(x)+a$$

olur, bir $n$ dogal sayisi icin. Bunu denklemimize koyarsak
$$(x-1)^nQ_1(x)^2+2aQ(x)=2(2x+2)^nQ(2x^2-1)$$

esitliginden $Q(1)=0$ elde ederiz. Bu da bir celiski verir. O halde 

$$P(x)=a$$

olmalidir, oyle ki $a^2-2a-2=0$.