Question

$\Bbb Z_{45}/<\overline 4>$ grubunda $\overline {15}+ <\overline 4>$ elemanının mertebesi nedir?

cevabını not almısım ama şimdi neden hatırlamiyorum.

• $|\Bbb Z_{45}/<\overline 4>|=1$ oldugundan her elemanın mertebesi 1'i böler dolayisiyla 1'dir.
  

Burada neden $|\Bbb Z_{45}/<\overline 4>|=1$'dir.? (45,4)=1 olduğundan $\Bbb Z_{45}/<\overline 4>\cong \Bbb Z_{45}/ <\overline  1>=\Bbb Z_{45}/ \Bbb Z=\{\Bbb Z\}$ oldugundan dolayi mı?

ikinci acıklamasında

•  $3+ <\overline  4>$ için $a(3+ <\overline  4>)=<\overline  4>$ olacak şekilde bir a tamsayısı bulunamayacagindan mertebesi 1 e eşittir.  yazıyor. bu neden dogru ? a=4 alamiyor muyuz
  

Comments

$<\bar{4}>$ kümesi $\Bbb{Z}_{45}$ grubunun altgrubu değil. Yani bolum grubundan Nasıl söz edebiliriz? 

---

@Handan $\langle 4 \rangle$ = "$4$ ile gerilen altgrup". Ve hayati'nin de dedigi gibi ebob($4,45$)$=1$ oldugundan, $4$ aslinda bu grubun tamamini geriyor. Yani, bolum grubu tiriska (trivial).

@hayati $\langle \overline{1} \rangle = \mathbb{Z}$ degil! $\mathbb{Z}_{45}/\mathbb{Z}$ gibi bir sey de anlamli degil!

Bir de < > yerine \langle \rangle daha guzel duruyor, tavsiye ederim. 

---

Ah evet Özgür. Tabii ki $<4>$ bir üretec. Soru şaşırtmacalı. Yoksa grup $\{0\}$ izomorf. Teşekkürler. 

Answer 1

Burda anlaşılması gereken $\bar4$ elemanının $\mathbb Z_{45}$  grubunu gerdigi. Bu durumda $\mathbb Z_{45}/<\bar4>$ bir elemanlı olur. Bu kümeden hangi elemanı alırsak alalım, ki bu kümenin bir elemanı var, dolayısıyla mertebesi 1 olur.

Yani her iki sorunda da cevap $1$. Her $a>0$ tam sayısı için dogru bir eşitlik, ikincide verdigin. Mertebe en küçügü olacağından $1$ olmalı. Dediğin gibi başka bir sürü var ve $4$ bunlardan biri.

Comments

teşekkürler. ikinci kısmı biraz açmanız mümkün mü acaba yani $1.(3+ <\overline 4>)$ bu tam olarak neye eşit oluyor

---

$4$ zaten tüm grubu gerdiğinden 3,5,7 farketmez, neyle toplarsan topla birim elde edersin.