Topolojide taban

Question

$\beta=\{ (a,b] | a,b \in \mathbf{R}, a<b \}$ kümeler ailesinin $\mathbf{R}$ üzerinde bir topoloji için taban olduğunu gösteriniz.

Sorunun çözümü için yardım istiyorum ama oncelikle su konuda..ben $\mathbf{R}$ de $\tau_{sag}$ topolojisini almakla başladım ise ama çiktigim yok ne kadar mantikli..

Comments

$\beta,\ \mathbb{R}$ üzerinde o topolojinin bir tabanı değil. İstenen şey, topolojiyi bulmak değil. (ne olduğunu bulmadan) BİR topolojiye taban olduğunu göstermek. Bunu nasıl yapıldığı, derste, bir yerde anlatılmıştır.

---

Soruyu anlamama yardimci oldugunuz icin tesekkurler hocam ben hep bildigim bir topolojik uzayin tabani yapmaya calistim en mantiklisi sol topoloji gelmis idi..basta soruya yanlis baslamisim..gormedim o tarz bir cozum yada anlatim biraz daha arastirayim...:)

Answer 1

İpucu: Söz konusu ailenin $\mathbb{R}$ üzerindeki bir topolojiye baz olduğunu göstermek için $$b_1) \,\ \bigcup\mathcal{B}=\mathbb{R}$$ ve $$b_2) \,\ A,B\in\mathcal{B}\Rightarrow \left(\exists \mathcal{A}\subseteq \mathcal{B}\right)\left(A\cap B=\bigcup \mathcal{A}\right)$$ önermelerinin doğru olduğunu göstermen yeterli.

$b_1)$ $x\in\mathbb{R}\Rightarrow (\exists a,b\in\mathbb{R})(x\in(a,b])\Rightarrow x\in\bigcup_{a,b\in\mathbb{R}}(a,b]=\bigcup\mathcal{B} \,\ \Big{/} \,\ \mathbb{R}\subseteq \bigcup\mathcal{B}\ldots (1)$

$(a,b\in\mathbb{R})(a<b)\Rightarrow (a,b]\subseteq\mathbb{R}\Rightarrow \bigcup\mathcal{B}=  \bigcup_{a,b\in\mathbb{R}}(a,b]\subseteq\mathbb{R}\ldots (2)$

$(1),(2)\Rightarrow \bigcup \mathcal{B}=\mathbb{R}.$

$b_2)$ $A,B\in\mathcal{B}$ olsun.