Dogruya en yakin olan parabol uzerindeki nokta

Question

Bilgilendirme: $y=ax^2+bx+c$ olsun, $a \ne 0$. Bir adet bu parabolu kesmeyen $ux+vy=w$ dogrusu alalim. Bu durumda "parabol uzerinde bu dogruya en yakin nokta teget egimi dogrunun egimine esit oldugu noktadir" olarak sitede kullaniliyor.

Soru 1: Bu hakikaten dogru mu? Evet/Hayir.

Soru 2: "Dogruyu parabole dogru otelersek parabol dis/ic bukey oldugundan ilk degdigi nokta otelerken teget olacagi nokta olur."  ispat olarak dogru mu?  Neden dogru/yanlis? Dogru ise bilgilendirmedeki ifadeyi tum dis/ic bukeyler icin de kullanabilir miyiz?

Soru 3: Eger dogru ise: Parabol uzerinden bir $(s,as^2+bs+c)$ noktasini alip bu noktanin uzakligini minimize ederek elde edilen noktanin bu dogrunun egimine esit oldugunu gosteriniz.


Ek: Bu soruyu daha onceden sormak istemistim fakat sormamisim galiba. Hatta baska birisi de sormamis gibi. Arastirdim sitede bulamadim.

Comments

fransız egrısı dıye bırşey var, nasıl koyarsanız koyun hep teget degcek şekılde duruyor, o mantık ıle dusunebılırız.

Answer 1

Öncelikle bilgilendirmede doğru denklemindeki $c$ ile paraboldeki $c$'nin aynı olmak zorunda olmadığını belirtmeliyim. Bu sebeple doğruyu $ux+vy+z=0$ olarak alalım.

Cevap1: Evet.

Cevap2:Evet. Paralel iki doğru arasındaki uzaklık doğrunun her noktasında eşit olduğundan ötelemede ötelenen doğrunun parabole değdiği ilk nokta en yakın nokta olmak zorundadır. Dolayısıyla bilgilendirmede verilen ifade düzlemde doğru olur.

Cevap3:  $f(s)=\frac{|us+v(as^2+bs+c)+z|}{\sqrt{u^2+v^2}}$ olup $f'(s)=\frac{u+2vas+vb}{\sqrt{u^2+v^2}}=0$ den $s=\frac{-u-vb}{2av}$ olur.

Ayrıca parabolün türevi, $2as+b$ olup $2a.\frac{-u-vb}{2av}+b=\frac{-u-vb}{v}+b=\frac{-u}{v}$ elde edilir ki bu da $ux+vy+z=0$ doğrusunun eğimidir.

Comments

Soruyu duzenledim. ikincinin aciklamasini tam anlamadim. Gostermek istedigimiz bu noktadaki tegetin egimi ile dogrunun egiminin ayni olmasi. Fakat aciklama iki paralel dogru ile basliyor, yani ispat edilmek isteneni kabul ediyor?

---

Öncelikle Eğrinin ötelenecek doğruya dış bükey olması  ve kapalı olmaması gerektiğini düşünmeliyiz. Bu durumda ötelenen doğrunun,dış bükey eğriye değdiği nokta $A$ olsun. Ve varsayalım ki $A$ doğruya en yakın değil. O zaman eğri üzerinde doğruya en yakın başka bir $B$ noktası var demektir.  $B$'den eğriye çizilen teğet, diğer iki doğruya paraleldir. Bu ise kapalı olmayan  dış bükey eğrinin iki farklı noktasından aynı doğruya paralel çizildiğini ifade eder.Bu ise mümkün değildir. Yani $A$ ile $B$ noktası aynı noktadır.

---

"B'den eğriye çizilen teğet, diğer iki doğruya paraleldir."  Burda ispatlamak istedigimiz kullaniliyor zaten. Ilk basta paralel oldugunu bilmiyoruz, en sonunda paralel demeliyiz.