Kardinal karşılaştırılabilme hipotezi

Question

$A$ ve $B$ iki küme olsun. O halde ya $A \leq_c B$ ya da $A \geq_c B$ olur.

Bu hipotezin kanıtı var mı yoksa Süreklilik hipotezi gibi, ZFC den bağımsız mıdır?

Comments

$\geq_c$ ile kastettiğiniz $A$'dan $B$'ye örten bir fonksiyon olması mı yoksa $B$'dan $A$'ya birebir bir fonksiyon olması mı? Bunların denkliği için seçim belitine ihtiyaç var.

Eğer seçim belitini kabul ediyorsanız bu ifade otomatik olarak doğru zira her küme iyi sıralanabilir ve dolayısıyla herhangi iki kümeyi kardinal sayılarla eşleyerek karşılaştırabiliriz.

---

$A \leq_c B$ ile kastettiğim $A$'dan $B$'nin bir altkümesine birebir ve örten bir fonksiyon olması. Bu da $A$'dan $B$'ye birebir bir fonksiyon olmasına denk yanılmıyorsam.

Bahsettiğiniz iki önermenin denkliği için neden saçim belitine ihtiyaç var?  

---

Çünkü seçim beliti olmazsa $2^{\omega}$'dan $\omega_1$'e örten bir fonksiyon olduğu halde $\omega_1$'den $2^{\omega}$'ya birebir bir fonksiyon olmadığı tutarlı. Bunun kanıtı ne yazık ki pek kolay değil.

Answer 1

ZF'den bağımsızdır ama ZFC'den bağımsız değil. Zira "Her $A,B$ için $A \leq B$ veya $B \leq A$" ifadesi tam olarak C'ye (yani seçim belitine) denk.

Teorem (ZF): Her $A,B$ için $A \leq B$ veya $B \leq A$ olur ancak ve ancak her küme iyi sıralanabilirse.

Kanıt: Diyelim ki her küme iyi sıralanabilir. Bu durumda verilen $A$ ve $B$ kümelerini ordinal sayılarla eşleyebiliriz. Ancak bu durumda ordinal sayılar sınıfı doğrusal sıralı olduğundan $A \leq B$ veya $B \leq A$ olmak zorundadır.

Diyelim ki her $A,B$ için $A \leq B$ veya $B \leq A$. Verilen bir $A$ kümesi için $\alpha \nleq A$ olan en küçük $\alpha$ ordinaline bakalım. (Böyle bir ordinalin var olması gerektiği Hartog teoreminin bir sonucu.) Varsayım gereği $A \leq \alpha$ olmak zorundadır. $\alpha$ bir ordinal sayı olduğundan ve iyi sıralı bir kümenin her alt kümesi de iyi sıralı olduğundan bu durumda $A$ iyi sıralanabilir olmak zorundadır. Demek ki her küme iyi sıralanabilir.