1)Doğrular kesişiyorsa aralarındaki uzaklık sıfırdır.
$l:\frac{x-3}{1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z-7}{1}=t$
$d:\frac{x+1}{7}=\frac{y+1}{-6}=\frac{z+1}{1}=k$,
$ 3+t=-1+7k\\ 5-2t=-1-6k\\ 7+t=-1+k$
$ t-7k=-4\\ -2t+6k=-6\\ t-k=-8 ..................(*)$ denklem sisteminin çözüm kümesi boş küme olduğundan bu iki doğru kesişmez.
2)Doğrular paralel ise, birisinin üzerindeki bir noktanın diğerine olan uzaklıklığıdır.
Uzayda doğrular arasındaki işlemler daha çok bu doğruların doğrultman vektörleri ile yapıldığından:
$l:\frac{x-3}{1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z-7}{1}$ doğrusunun doğrultman vektörü $v=(1,-2,1)$ dir.
$d:\frac{x+1}{7}=\frac{y+1}{-6}=\frac{z+1}{1}$ doğrusunun doğrultman vektörü $u=(7,-6,1)$ dir.
Paralel olan vektörlerin aynı sıradaki bileşenleri orantılı olduğundan ve $\frac 17\neq \frac{-2}{-6}\neq \frac{1}{1}$ olduğundan $\vec{v}$ ile $\vec{u}$ paralel değildir.
3)O halde doğrular aykırıdır. $l$ doğrusuna olan $A(t+3,-2t+5,t+7)$ noktasının $d:\frac{x+1}{7}=\frac{y+1}{-6}=\frac{z+1}{1}$ doğrusuna olan uzaklık minimum olmalıdır. Bunun için $d$ doğrusu üzerinde bir nokta $P(-1,-1,-1)$ ve
$\vec{AP}=(-4-t,-6+2t,-8-t)$ olmak üzere ,
$A$ noktasının $d$ doğrusuna olan uzaklığı $||\vec{PH}||=\frac{||\vec{AP}\times\vec{u}||}{||\vec{u}||}$ olduğundan sadece
$||\vec{AP}\times\vec{u}||=\sqrt{(-54-4t)^2+(-52-6t)^2+(-8t+66)^2}$ 'in minimum olması gerekir. Türevinin sıfırlanması ile $t=0$ olacak ve en yakın noktada $A(3,5,7)$ olacaktır.