Şekildeki $f$ fonksiyonunun integrasyonunu Riemann toplamı ile
$\displaystyle \int \limits_a^b f(x)dx=\lim_{n\to\infty} \frac{b-a}{n} \sum _{k=1}^n f(a+k\frac{b-a}{n})$
şeklinde yazabileceğimizi biliyoruz. Peki bunun konumuzla ne alakası var? Birazdan bu tanımla hareket edeceğiz.
Bu şekildeki kırmızı çizgiler ise herhangi bir $k$ pozitif tamsayısı için $\left(a+(k-1)\frac{b-a}{n},f\left(a+(k-1)\frac{b-a}{n}\right)\right)$ ile $(a+k\frac{b-a}{n},f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right))$ noktaları arasındaki doğru. $n$ sonsuza ıraksadığında fonksiyona o kadar yakın olacak ki bize fonksiyonun gerçek uzunluğuna çok yakın bir değer verecek.
Burada kırmızı çizgilerin uzunluklarının toplamını bulmak isteyecek olursak
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \sqrt{\left(\frac{b-a}{n}\right)^2+\left(f\left(a+(k-1)\frac{b-a}{n}\right)-f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)^2\right)}\\\displaystyle =\lim_{n\to\infty} \frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^n \sqrt{1+\left(\frac{f\left(a+(k-1)\frac{b-a}{n}\right)-f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)}{\frac{b-a}{n}}\right)^2}$
olarak ifade edebiliriz.
$\displaystyle g\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)=\sqrt{1+\left(\frac{f\left(a+(k-1)\frac{b-a}{n}\right)-f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)}{\frac{b-a}{n}}\right)^2}$
olarak düşünürsek, yukarıdaki ifadenin $\displaystyle \int_a^b g(x)dx$ olduğunu görmek kolay.
Son olarak, $n$ sonsuza ıraksarken
$\frac{f\left(a+(k-1)\frac{b-a}{n}\right)-f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)}{\frac{b-a}{n}}=-f'\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)$
olduğunu da görebilirsek
$g(x)=\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}$
eşitliğini elde ederiz. O halde, fonksiyon üzerinden gidersek yolumuzun uzunluğunu
$\displaystyle \int_a^b \sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}dx$
olarak bulabileceğimizi göstermiş oluruz.