$\left\Vert f\right\Vert _{r}=\infty $ veya $\left\Vert f\right\Vert_{s}=\infty $ ise kanıtlanacak bir şey yoktur. O halde $\left\Vert f\right\Vert _{r}<\infty $ ve $\left\Vert f\right\Vert _{s}<\infty $ olduğunu varsayalım. $M=\max \left\{ \left\Vert f\right\Vert_{r},\left\Vert f\right\Vert _{s}\right\} $ koyalım. $r<p<s$ olduğuna göre $t_{1}=\frac{s-p}{s-r}>0$, $t_{2}=\frac{p-r}{s-r}>0$ koyalım.
$t_{1}+t_{2}=1$ ve $p=t_{1}r+t_{2}s$ dir. O halde Hölder eşitsizliğinden
$\left\Vert f\right\Vert _{p}^{p}=\int\limits_{X}\left\vert f\right\vert^{p}d\mu=$
$ \int \limits_{X} \left\vert f\right\vert ^{t_{1}r} \left\vert f\right\vert ^{t_{2}s}d\mu $
$\leq (\int \limits_{X} \left\vert f \right\vert ^{{t_{1}r} \frac{1}{t_{1}}}) ^{t_1} (\int \limits_{X} \left\vert f \right\vert ^{{t_{2}s} \frac{1}{t_{2}}}) ^{t_2} $
$=(\left\Vert f\right\Vert _{r})^{t_1}(\left\Vert f\right\Vert _{s})^{t_2} $
$\leq M^{t_1+t_2} =M$
Buradan
$\left\Vert f\right\Vert _{p}\leq M=\max \left\{ \left\Vert f\right\Vert_{r},\left\Vert f\right\Vert _{s}\right\} $ elde edilir.