Question

Saflık prensibi nedir? Okuduğuma göre her topluluğun küme olduğunu olduğunu söylüyor. Ancak küme olmayan bazı topluluklar bulabiliyoruz. Geçerliliğini yitirdi mi? Yoksa yanlış mı anlıyorum? 

Comments

Bahsettiğiniz terimin İngilizcesi nedir?

---

Principle of Purity

Answer 1

Bahsettiğiniz prensibin ifadesini Moschovakis'in kitabından buldum. Bu prensip üzerinde çalıştığımız objeler evrenindeki her şeyin bir küme olduğunu evrenimizde küme olmayan objeler (yani "atomlar") olmadığını söylüyor. Çalışmak istediğiniz kümeler kuramına göre evreninizde atomların olmasını isteyebilirsiniz. (Öte yandan standart kümeler kuramı olan ZFC'de atomlar yok, objeler evrenimizdeki her şey bir küme.)

Sizin bahsettiğiniz küme olmayan topluluklar (mesela tüm kümeler topluluğu, ordinal sayılar topluluğu vs.) zaten evrenimizde bir obje olarak var olmayan şeyler, sadece evrenimizin alt koleksiyonları.

Comments

Birkaç sorum olacak,

1) Küme olmayan objelerin olmadığını kabul edebiliyoruz. Ancak küme olmayan objelerin varlığını da biliyoruz. Kafam karıştı.

2)Bir topluluğun küme olup olmadığını nasıl anlarız? Saflık Prensibi'ne göre her topluluk küme mi oluyor?

Tüm singleton(Türkçe karşılığını bilmiyorum)ların topluluğu da bir küme değil. 

---

Küme olmayan objelerin varlığını bilmiyoruz. Küme olmayan toplulukların varlığını biliyoruz. Bu toplulukların evrenimizde birer obje olduklarını nereden çıkarttınız ki? Yazdığım örneğe dönelim. Tüm kümeler topluluğu bir küme değil. (Çünkü olsaydı çelişki kanıtlayabilirdik.) Peki bu topluluk neden objeler evrenimizin bir elemanı olsun ki?

---

Objeler evreni, tüm toplulukların evreni değil midir zaten? Eğer küme olmayan bir topluluk bulduysak, bu doğal olarak bir atom olmaz mı?

---

Hayır, objeler evreni tüm toplulukların (koleksiyonların) evreni değildir. Örnekleyelim: Elimizde bir objeler evreni olsun ve tüm objelerim küme olsun (yani atom yok). Bu kümelerin de ZFC belitlerini sağladığını varsayayım. Bu durumda $x=x$ formülünün tanımladığı $\{x: x=x\}$ koleksiyonu kümeler evreninin bir alt koleksiyonudur (kümeler evreninin tamamına eşittir) ama bir küme değildir (yani kümeler evreninin bir elemanı değildir).

---

Objeler evrenin tanımı nedir?Objenin tanımı nedir?

Yani, küme olmayan topluluklar objeler evreninde bir obje olmayabilir.Prensibe göre, hiçbiri objeler evreninde bir obje değildir. Objeler evreni sadece kümelerden oluşur. 

Yazdığımız bir topluluğun küme olduğunu nasıl kanıtlarız?

---

Belki de şöyle anlatmalıyım:

Elimizde bir kümeler (objeler) evreni olduğunu varsayıyoruz. Kümenin bir tanımı yok, tanımsız bir terim. Küme dediğiniz şey bir yerlerde var olduğuna inandığımız objeler evrenindeki bir nesne. Bu kümelerin arasında bir elemanı olmak ilişkisi olduğunu varsayıyoruz. Buna ek olarak da kümelerin aralarındaki elemanı olmak ilişkisi ile ZFC aksiyomlarını sağladığını varsayıyoruz.

Bu aksiyomlar altında $\exists x \forall y\ y \in x$ cümlesinin yanlış olduğunu kanıtlayabiliyoruz. Yani kümeler evrenimizde öyle bir küme yoktur ki tüm kümeleri içersin.

Sınıf dediğiniz şey bir formül ile tanımlanabilen küme koleksiyonlarıdır. Sınıflar küme olmak (yani evrenimizin bir elemanı olmak) zorunda değil. Mesela $x=x$ formülü bir sınıf tanımlar. Tanımladığı sınıf $\{x: x=x\}$ tüm kümeler sınıfıdır. Bu sınıfın küme olmadığını kanıtlayabiliyoruz. Demek ki bu sınıf (topluluk) kümeler evrenimizin bir elemanı değil.

---

Tamam daha iyi anladım. Yine de üzerine biraz daha kafa yormam gerek. Yardımınız için teşekkürler.