Topoloji olduğunu gösteriniz.

Question

$(X,\tau)$ herhangi bir topolojik uzay olmak üzere

$$\sigma:=\{A\mid A \subseteq int(cl(int(A))) \}\subseteq 2^X$$

ailesi, $X$ kümesi üzerinde her zaman bir topoloji midir?

Comments

$\tau$'yu nerede kullaniyoruz? Galiba $\sigma$'nin elemanlarini $\tau$'dan seciyoruz?

---

$\sigma \subset 2^X$ olduğundan tabii ki $\sigma$'nın elemanlarını $2^X$'in içinden arayacağız. $\tau$'yu da bir kümenin içini ve kapanışını bulurken kullanacağız. $$A \subset int(cl(int(A)))$$ koşulunu sağlayan kümelerin oluşturduğu aile daima $\tau$ ailesinden (kapsama bağıntısına göre) daha büyük oluyor.

---

Tesekkurler, anlamamışım soruyu.

---

$T_1)$ $$int(cl(int(\emptyset)))=\emptyset \supset \emptyset\Rightarrow \emptyset \in \sigma$$ ve $$int(cl(int(X)))=X \supset X\Rightarrow X\in \sigma$$

$T_2)$ $?$

$T_3)$ $?$