Dihedral grup

Question

Dihedral grubun bir rotasyon ve bir yansıma tarafından üretildiğini biliyoruz. Sadece iki yansıma tarafından da üretilebileceğini gösterin.

Answer 1

$D_{n}=\langle x,y\mid x^{n}=y^{2}=1~,~yxy=x^{n-1}\rangle$ burada $x$ dönme ve $y$ yansıma. Diğer taraftan $D_{n}=\langle y~,~x^{n-1}y\rangle$ yazabiliriz. Burada $\circ(y)=\circ(x^{n-1}y)=2$ olduğundan $y$ ve $x^{n-1}y$ yansımalar. Ayrıca $yx^{n-1}y=x$ olup $D_{n}=\langle y~,~x^{n-1}y\rangle=\langle y~,~x\rangle$ olur. Ve diğer yansıma çiftlerinide alsak sonuç değişmeyecektir.

Comments

Mertebe iki olunca otomatik olarak yansıma olmak zorunda mı? $\pi$ kadar rotasyonun mertebesi de $2$.

---

Öklid düzlemde her ortogonal dönüşümün bir yansıma ki(det=-1) yada bir dönme (det=1) olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla bir dönme ve yansıma bileşkesi yine bir yansıma olacaktır.