Biraz geç ama cevap yazalım.
$n$ sayısı tek olduğunda $n^4 + 1$ ifadesi çift sayı olacağından $f(n)$ ifadesinin $2$ olacağı gayet açıktır.
yani bu demektir ki $f(1)+f(3)+f(5)+f(7)+.....+f(2013)$ toplamı $1007.2 = 2014$ olacaktır. Fakat çift sayılar için sorun baya büyük.
Ben ilk olarak $n^4+1$ ifadesini çarpanlara ayırmaya çalıştım. Baktım ki tam katsayılı çarpanlarına ayrılamıyor. Yapacak başka bir şey düşünmeye başladım.
$Tanım$ : Küçük fermat teoremi
$OBEB(a,b) = 1$ ve $p$ asal sayı olmak şartıyla $a^{p-1} = 1 ( mod p)$ denkliği sağlanır.
Bizim aradığımız şey $n$ çift sayı iken $n^4 + 1 = 0 (mod f(n))$ denkliğinin sağlanmasıdır. Burada biz denkliği $ n^8 = 1 (mod f(n))$ şeklinde düzenleriz. Fermat teoreminden $n^{f(n)-1} = 1 (mod f(n))$ olması gerektiği ortaya çıkar. Yani $n$ çift sayı iken $f(n) = 8k+1$ şeklinde olacaktır.
Buradan $f(2)+f(4)+.....+f(2014) = 8k + 1007$ yani $8$ ile bölümünden kalan $7$ olacaktır. Diğer toplamı da eklersek
$f(1)+f(2)+....+f(2014) = 7 + 2014$ olacaktır ki bu toplam mod 8 de 5 e denktir.