Möbius fonksiyonu aslında kısmı sıralı kümeler (kısküm?) (partially ordered set, poset) teorisinin önemli fonksiyonlarından biridir ve temelde yukarıdakı eşitlikleri sağlayan biricik fonksiyon olarak tanımlanır. Ama sayı teorisindeki uygulamasında genelde önce değerleri verildiği için bu eşitlikler en sonunda ispatlanmak zorunda kalınır. Ben direkt ispat vermek yerine biraz teorisinden bahsedip oradan ispat nasıl yapılıyor onu göstermek istiyorum.
Öncelikle ikinci formülü tekrar yazmak gerekiyor. İkinci eşitlikte $n/d$ yerine $d$ koyunca,
$f(n)=\sum _{d|n} g(d)$ ve
$g(n)=\sum _{d|n} \mu (n/d) f (d)$
formüllerini elde ederiz. Bu formüllerin genellemesi şudur: $X$ bir kısmi sıralı küme olsun. $f, g $ fonksiyonları $X$'den tam sayılara giden iki fonksiyon olsun. Bu durumda
$f(y) =\sum _{ x \leq y} g(x) $ ve
$g(y)=\sum_{x \leq y} \mu (x,y) f(x) $
eşitliklerinden bir doğruysa diğeri de doğrudur. Burada $\mu$ fonksiyonu $X\times X$ den tam sayılara tanımlı $f$ ve $g$ den bağımsız sadece $ X$'e bağlı bir fonksiyon. Sayı teorisindaki özel duruma geçmek için $X$'i positif tamsayılar kümesi olarak almak gerekiyor, ayrıca $\mu (d, n)=\mu (n/d)$ alınıyor.
Kıskümlerde yukarıdaki eşitlikler doğrusal cebir kullanılarak ispatlanıyor. $i: X\times X \to \mathbf{Z}$ değerleri şu şekilde tanımlı fonksiyon olsun: $x \leq y$ ise $i ( x,y)= 1$, değilse $ i(x,y)=0$. Bu durumda yukarıdaki birinci eşitlik $ f=I g$ şeklinde matris eşitliği olarak yazılabilir. İkinci eşitlik $\mu$ fonksiyonunu matrisi $I$' nın tersi olarak almak gerekiyor. Bu $\mu$ fonksiyonunu biricik şekilde ve $ f, g $ fonksiyonlarından bağımsız şekilde tanımlıyor. Sonuç olarak $\mu$ fonksiyonu
$\sum _{x\leq z \leq y} \mu ( x, z ) $ toplamı $x = y$ ise $1$, değilse $ 0$ olan
biricik fonksiyondur. Sayılar teorisinde tanımlanmış olan $\mu$ fonksiyonu bunu sağladığı için ters yüz etme formülünü de sağlar.
Bir orta öğretim sorusuna da böyle çözüm yazılır mı diyeceksiniz belki ama Möbius ters düz etme formülünü çok severim dayanamadım.