Asimptotların kesişim noktasının apsisi kaçtır?

Question

$f(x)=\sqrt{x^2+2x+5}+\sqrt{x^2+3}+x+1$ fonksiyonunun asimptotlarının kesişim noktasının apsisi kaçtır?

Comments

Yatay veya dikey bir asimptot bulamadım. Eğri asimptota benzetmeye çalıştım fakat bir şey çıkmadı. $\sqrt{x^2+2x+5}^2-\sqrt{x^2+3}^2=2(x+1)$ galiba buradan bir şey çıkacak çözersem yazarım.

---

Kökün içindeki ifadeleri $x^2$ parantezine al.

Answer 1

$a>0$ olmak üzere $lim_{x\to\pm\infty}\sqrt{ax^2+bx+c}=lim_{x\to\pm\infty}\sqrt a|x+\frac{b}{2a}|$ olduğundan  $lim_{x\to\pm\infty}(\sqrt{x^2+2x+5}+\sqrt{x^2+3}+x+1)=lim_{x\to\pm\infty}(|x+1|+|x|+x+1)$ dir. 

$lim_{x\to\infty}(|x+1|+|x|+x+1)=lim_{x\to\infty}(3x+2)$ dir. 

$lim_{x\to-\infty}(|x+1|+|x|+x+1)=lim_{x\to\infty}(-x)$ dir. Asimptotlar: $y=3x+2,\quad y=-x$ doğrularıdır. Bunların kesim noktası ise $(\frac{-1}{2},\frac{1}{2})$ dir.

Comments

Buradaki limitleri:

$\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\left(\sqrt{x^2+2x+5}+\sqrt{x^2+3}+x+1\right)=\lim_{x\to\pm\infty}(|x+1|+|x|+x+1)$ yerine

$\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\left(\sqrt{x^2+2x+5}+\sqrt{x^2+3}+x+1-(|x+1|+|x|+x+1)\right)=0$ şeklinde (diğer eşitlikleri de benzer şekilde) yazmak daha iyi olur düşüncesindeyim, aksi halde son adımın ("Asimptotlar" dan sonrası)  bir açıklamasını yapamayız.

Örneğin:

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x^2+2x+5}=\lim_{x\to +\infty}2x$ ama buradan:

$y=2x$ doğrusunun $y=\sqrt{x^2+2x+5}$ (yarım) hiperbolünün asimptotu olduğu sonucuna varılamaz.

---

Haklısınız hocam. Daha doğru olanı sizin belirttiğiniz şekilde olanı. Teşekkürler uyarınız için.