Serinin toplami kactir..

Question

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{4^{n+1}}=?$$

Comments

Cevap 1/9  olabilir. 1/4 toplamın dışına alınabiiyor.  n=0 dan başlasa da olurmuş.

http://math.stackexchange.com/questions/50919/calculate-the-sum-of-the-infinite-series-sum-n-0-infty-fracn4n

Answer 1

Sitede benzer sorular var. Bu nedenle sadece çözüm yolunu vereceğim:

1) iç toplam $x^n$ oldugunda eğer $|x|<1$ ise bu geometrik toplam yakınsar. Bu toplamı da biliyoruz.

2) Türevini alırsak $nx^{n-1}$ toplamını ve $x^2$ ile çarparsak $nx^{n+1}$ toplamını elde ederiz.

3) $x=1/4$ koyduğumuzda, ki mutlak degeri $1$ sayısından küçük, istediğimiz değeri buluruz.

Ek olarak toplamın $n=1$ için başladığını ihmal etmemek lazım fakat $n=0$ için başlasa da toplam değişmez.

Answer 2

Biraz uzun olmakla birlikte baska bir yoldan cozelim.

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{4^{n+1}}=\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{4^{n+1}}+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{4^{n+1}}-\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{4^{n+1}}=\sum_{n=1}^\infty\frac{n+1}{4^{n+1}}-\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{4^{n+1}}$$

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{n+1}{4^{n+1}}=4\sum_{n=1}^\infty\frac{n+1}{4^{n+2}}=4\sum_{n=2}^\infty\frac{n}{4^{n+1}}=4\left[\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{4^{n+1}}-\frac{1}{16}\right ]$$ $\Rightarrow$

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{4^{n+1}}=4\left[\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{4^{n+1}}-\frac{1}{16}\right ]-\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{4^{n+1}}$$ $\Rightarrow$

$$3 \sum_{n=1}^\infty\frac{n+1}{4^{n+1}}=\frac{1}{4}+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{4^{n+1}}$$ $\Rightarrow$

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{4^{n+1}}=\frac{1}{3}\left[\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{4}\right)^n\right]=\frac{1}{3}\left[\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}\right]=\frac{1}{9}$$