Tazmanya canavarı, küçük domuzcuk ve $[0,1]^2$ üzerinde kovalamaca

Question

Tazmanya canavarı ve küçük domuzcuk birim kare $[0,1] \times [0,1]$ şeklindeki bir ada üzerine rastgele yerleştirilmiş iki nokta ile temsil ediliyor olsun. Tazmanya canavarının amacı küçük domuzcuğu 1 birim zaman içerisinde yakalamak.

Tazmanya canavarı istediği kadar hızlı koşabilmekte. Ancak bir sorun var. Gözleri bağlı ve domuzcuğun nerede olduğunu hiçbir zaman göremiyor.

Soru 1: Diyelim ki domuzcuk hiç hareket etmiyor ve hep ilk pozisyonunda duruyor. Tazmanya canavarının domuzcuğu her zaman yakalamasını garanti edecek bir strateji (yani bir rota) var mıdır?

Soru 2: Diyelim ki domuzcuk da hareket edebiliyor ve hızı üstten bir $C$ sabiti ile sınırlı. Bu durumda domuzcuk ne yaparsa yapsın Tazmanya canavarının domuzcuğu yakalamasını garanti edecek bir strateji var mıdır?

Comments

Çözdüğümü düşünmüyorum. Ama fikrimi söylemek istiyorum. Eğer [0,1] aralığı reel sayı ise ve tazmanya canavarı ile domuzcuk birer nokta ise sabit bir noktanın bulunma olasılığı bence 1/sonsuz olur. O yüzden kesin cevap vermek zor. Zenon gibi yaklaştıkça bir mesafe her zaman olabilir. Ama bir limit noktası olarak alırsak ne olur bilemiyorum.

---

Tazmanya canavarının domuzcuğu bulup bulamayacağının olasılığından ziyade bulmasını garanti etmek istiyoruz. Yani hangi başlangıç pozisyonları ne olursa olsun eninde sonunda (1 birim zaman içinde) domuzcuğu yakalayabilmeli.

---

Eger tazmanya canavari daha hizliysa ve tamamini taramasinin suresi sonluysa, bi cozumum var gibi. Sorularim bariz olabilir ama maksat tam emin olmak. 

---

Tazmanya canavarı istediği kadar hızlı gidebiliyor: Yani rotasını $T: [0,1] \rightarrow [0,1]^2$ sürekli eğrisiyle temsil edersek $|T(x)-T(y)|/|x-y|$ niceliği "arbitrarily" büyük olabilir. Ayrıca evet, canavarın 1 birim süre içerisinde domuzcuğu yakalamasını istiyoruz (bu yüzden $[0,1]$ aralığını kullandım tarif ederken). Tabii canavarın "hızından" söz ettim diye $T$ türevlenebilir bir eğri olmak zorunda değil, sadece sürekli olmalı. Sorunun ikinci kısmında domuzcuğun hızının üstten bir $C$ sabitiyle sınırlı olması da bu şekilde bir Lipschitz şartı olarak yorumlanmalı.

---

Soru 1'in cevabi space filling curve olabilir mi?

---

Olabilir :). Cevabınızı yorum olarak değil de cevap olarak postlayıp en azından sorunun birinci kısmı için bir çözüm sağlayabilirsiniz. İkinci kısmı biraz daha zor, rastgele bir uzay dolduran eğri almak yetmeyebiliyor.

Answer 1

Bu soruyu "50" puan karşılığında ödüllü soru ilan ediyorum.

Istek: Cevabin acik bir sekilde yazilmasi.

Comments

$50$ puan hesabınızdan düşüldü.Uygulamayı kullandığınız için teşekkürler.

---

1. Soru için cevap Hilbert eğrisi olabilir.

https://m.youtube.com/watch?v=v99dsVBE4xQ

https://m.youtube.com/watch?v=DuiryHHTrjU

---

Yorumlarda da Ozgur ilk sorunun cevabini vermisti. Verdigin ilk videodaki gibi uzayi dolduran egriler ile.

Ikiyi de alalim Okkes hocam :)

---

Sistemin ilk ödülü verilecek mi, çok heycanlıyız !!!