$\sqrt{4-\sqrt{4-\sqrt{4-\sqrt{\cdots}}}}$ tarzi sorular nasil cozuluyor?

Question

$1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots$ toplaminin degeri sorulsa soyle cozerim:

$s_0=1$,
$s_1=1+\frac12=\frac32$,
$s_2=1+\frac12+\frac14=\frac74$,
$\vdots$ 
$s_n=1+\frac12+\frac14+\cdots+{2^{-n}}=\frac{1-(1/2)^{n+1}}{1-\frac12}=2-\frac1{2^n}$

oldugundan toplamimiz $\lim\limits_{n\to\infty} s_n=2$ olur.

Peki $\sqrt{4-\sqrt{4-\sqrt{4-\sqrt{\cdots}}}}$ sorusunu nasil cozeriz? Burada dizi terimlerimiz vebu diziye bagli limit hesabimiz nasil olmali?

Comments

surada temelgokce ile guzel tartismistik. tam bu soruya cevap degil ama, olsun.

---

En sondaki ifadede ardışık iki sayının çarpımı 4 olsa dışarı çıkan bi ifade olurdu ama nası yapıcaz ki bunu

---

<p>
    $\sqrt{4-\sqrt{4-\sqrt{4-\sqrt{...}}}}=x$ dersek ifade sonsuza kadar gittiğinden $\sqrt{4-x}=x$ diyebiliriz. Oradan $x^2=4-x\rightarrow x^2+x-4=0 \rightarrow x=\frac{\sqrt{17}-1}{2}$ olur.
</p>

---

Soruyu okumuş muydun :)

---

Evet, guzel tartismistik. Sormak istedigim asagidaki cevap gibi cozumler yapiliyor ve ne kadar dogru? Aslinda $x$ denilen, limit. Fakat limitin varligi hic sorgulanmiyor. Bu nedenle bu basligi actim.

---

Senem, demek istedigin $\sqrt{a(a-1)+x}=x$ olsa $a(a-1)=x^2-x=x(x-1)$ olur. Burdan da $x=a$ olur. Fakat burda sormak istedigim ordaki $x$'i neden diyebildigimiz hakkinda.

---

Cevap yorumlara tasindi hocam bakalim iyi bir cevap cikacak mi?

Answer 1

Evet ya öyleydi doğru diyosunuz sanırım biraz limit bakm gerekli tekrar lazım ygs matematiğine yoğunlaşmaktan ihmal oluyo ister istemez