iki değişkenli fonksiyonlarda limit

Question

bunların ispatını bilen varsa yardım edebilir mi acaba?

$f$ ve $g$ iki değişkenli fonksiyon olmak üzere

$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y)=L_1$ ve  $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (a,b)} g(x,y)=L_2$ ise 

(a) $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (a,b)} [f(x,y)+g(x,y)]= \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) + \lim_{(x,y) \to (a,b)} g(x,y) = L1+L2$

b)$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (a,b)} [f(x,y)*g(x,y)] = \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y)* \lim_{(x,y) \to (a,b)} g(x,y) =L1*L2$

c) $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (a,b)} [f(x,y)/g(x,y)] = \frac{\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y)}{ \lim_{(x,y) \to (a,b)} g(x,y)} = \frac{L1}{L2}$ 
\end{itemize}

a) şıkkını yaptım gibi ama b) ve c) yi yapamadım.

Comments

 b) ve c) daha zor. Bir değişkenli fonksiyonlar için yapılan ispata bakabilirsen ona çok benziyor. Ama, iki teorem (limit varsa fonksiyon sınırlı kalır ve limit sıfır değilse fonksiyon da 0 dan uzak kalır teoremlerini) kullanmak işi kolaylaştırıyor. Tek değişkenli fonksiyonlar için ispatını:
https://matematikkoyu.org/e-kutuphane/ de analiz 2 nin Teorem 4.8 (sayfa 81) de bulabilirsin

---

<p>
     Tamam hocam cok tesekkur ederim.
</p>

Answer 1

b şıkkı için şunu öneririm $f^2$ fonksiyonunun limitinin $L_1^2$ olduğunu göstermen yeterlidir. Çünkü

$$fg=\frac 14 ((f+g)^2-f^2-g^2)$$

eşitliği ve a yı birleştirirsen b çıkar.