$[0,1]$ ve $(0,1)$ kümelerinin kardinallikleri

Question

Bu iki küme arasında 1-1 ve örten bir fonksiyon inşa ediniz.                                           

Comments

Peki niye aşağıdaki gibi bir yanıt verilmiş? Neden bir tane formül verilememiş?

---

Anlayamadım sorunuzu? Bir formül verilememiş derken "Parçalı" olarak tanımlanmasını mı kastettiniz?

---

Evet, yani neden doğrudan bir şekilde veremedik? Bu birazcık yamuk bir soru, tam açık olmayan bir soru farkındayım. Yine de soruyorum.

---

 2 kümenin birbirine homeomeorfik olmamasından dolayı aralarındaki 1-1 örten fonksiyonu sürekli olarak çok bulmak kolay değil.(en azından kendi ve tersi aynı anda sürekli olan fonksiyon kesinlikle yok ama sadece kendisi sürekli olan bir fonksiyon var mıdır bilmiyorum, en azından bu 2 küme Arasında olabilir gibi geliyor)

Eğer kardinallikleri Eşit olan ama birinde diğerine göre daha az eleman olan 2 küme varsa Aralarındaki 1-1 örten  fonksiyon bu şekilde kuruluyor. 2 kümeden sayılabilir alt kümelerinin seçip onları eşitlikliyip sonra da kalanları identity map ile birbirlerine eşitliyoruz. (Tabi örneğin [0,1]^2 den [0,1]  e consruct etmek gibi Uç örneklerde bu metot işe yaramıypr.)

Answer 1

$A=\{\frac{1}{n}: n \geq 2 \}$ olsun. $f: [0,1] \rightarrow (0,1)$ fonksiyonu $[0,1]-(A \cup \{0,1\})$ üzerinde birim fonksiyon olarak tanımlansın, yani her $x \in [0,1]-(A \cup \{0,1\})$ için $f(x)=x$. $f$ fonksiyonunun $A \cup \{0,1\}$ üzerindeki değerlerini de şöyle tanımlayalım. $f(0)=1/2$, $f(1)=1/3$ ve her $n \geq 2$ için $f(\frac{1}{n})=\frac{1}{n+2}$. $f$ fonksiyonunun birebir ve örten olduğu kolayca görülebilir.

Answer 2

$f:(0,1]\to(0,1)$ için aşağıdaki fonksiyon eşlemedir.

$$y=f(x):=\begin{cases}\dfrac{3}{2}-x\quad \Leftarrow \quad \dfrac{1}{2}<x\le 1 \\ \dfrac{3}{4}-x\quad \Leftarrow \quad \dfrac{1}{4}<x\le \dfrac12 \\ \dfrac{3}{8}-x\quad \Leftarrow \quad \dfrac{1}{8}<x\le  \dfrac14\\ \quad\vdots    \end{cases}$$


Ek bilgi:

$(0,1),(0,1],[0,1],[0,1)$  aralıklarının hepsi eşit güçtedir. Dolayısıyla tek birinden yapılan eşleme öbürleri için de geçerlidir.

Answer 3

Buradaki linke bir yanıt eklemişiz.