Tanım: Bir topolojik $X$ uzayının bir topolojik $\tilde{X}$ uzayına topolojik denkliği (homeomorfizması); $X$'in topolojik yapısının $\tilde{X}$'inkine bir eşdönüşümüdür, yani $X$'teki açık altkümeler kümesini $\tilde{X}$'deki açık altkümeler kümesine dönüştüren ($X$'ten $\tilde{X}$'e tanımlı) bir eşleşmedir (=birebir ve örten gönderme). Eğer $X$'ten $\tilde{X}$'e bir topolojik denklik varsa, $X$ ve $\tilde{X}$'e birbirine topolojik denk denir.
Bir $f:X\rightarrow\tilde{X}$ eşleşmesinin topolojik denklik olabilmesinin şartı (tanımdan dolayı); $X$'teki her açık kümenin $f$'deki görüntüsünün $\tilde{X}$'de de bir açık küme olması ve aynı zamanda $\tilde{X}$'deki her açık kümenin $f$'deki ters görüntüsünün $X$'de de bir açık küme olmasıdır (=topolojik olarak $f$ eşleşmesinin ve tersinin sürekli olmasının tanım).
Not: Ayrık uzaylar için her eşleşme bir topolojik denkliktir.
Önerme: İki küme arasında bir topolojik denkliğin varolması bir denklik ilişkisi tanımlar.
Kanıt: $\mathcal{X}$ bir kümeler kümesi olsun ve $\mathcal{R}\subseteq\mathcal{X}\times\mathcal{X}$ de sadece aralarında bir topolojik denklik tanımlanabilen kümeleri içersin. Eğer $X$'den $\tilde{X}$'e bir topolojik denklik $f$ tanımlanabilirse yani $(X,\tilde{X})\in \mathcal{R}$ biz bunu $X\sim \tilde{X}$ olarak gösterelim.
Yansımalılık: Her $X\in\mathcal{X}$ için $X\sim X$'dir, çünkü $f$ olarak birim göndermesi $1\!\!1$ yukardaki şartı geçerler.
Bakışıklık: Herhangi $X,\tilde{X}\in\mathcal{X}$ için $X\sim\tilde{X}$ olsun ve aradaki topolojik eşleşmeyi yine $f$ olarak adlandıralım. $f$ bir eşleşme olduğu için ters göndermesi $f^{-1}$ vardır (görüntüler her zaman var olduğu için bu yukardaki şartı geçerlemeye yeter) $\rightarrow \tilde{X}\sim{X}$.
Geçişme özelliği: Herhangi $X,\tilde{X},\bar{X}\in\mathcal{X}$ için $X\sim\tilde{X}$ -ilgili top. gönderme $f$- ve $\tilde{X}\sim\bar{X}$ -top. gönderme $g$- ise, bileşkeleri $f\circ g$'de bir eşleşmedir (ve üst satıra benzer şekilde...) $\rightarrow X\sim\bar{X}$.
$\square$
Bu şartları özel kılan kısmını hala pek anlamadım: Kahve fincanıyla donut arasında bir topolojik denklik var $\leftrightarrow$ bir topolojici için ha kahve içmişsin ha donut tıkınıyorsun, arada bir fark yok?