Kaç adet iki basamaklı "iyi sayı" vardır?

Question

Bir tamsayının karesinin kendisiyle farkı $100$'e tam bölünüyorsa o sayıya "iyi sayı" deniyor. O halde kaç adet iki basamaklı "iyi sayı" vardır?

Comments

Bugün denemede karşıma çıktı çözümü buldum fakat farklı alternatif çözümleri merak ettim.

---

$(y^2+19xy)/100=k $        " k tam sayı olmak üzere bir eşitlik elde ettim. her y degeri için xi inceliyecegiz y 0 için 9 tane x degeri falan diye yazdım ama uzun oldu senin çözümün nasıl.

---

sanırım gine hatalı çözmüşüm.

---

Öncelikle son basamaklara bakarsak zaten $5$ ve $6$ sağlıyor (aslında $1$ ve $0$ da sağlıyor fakat onlardan çözüm çıkmadığı biraz irdelenince belli oluyor) sonu $5$ olan sayıların karelerinin son $2$ basamağının $25$ olduğu aşikar. Gelelim $6$'ya onun için $a6$ iki basamaklı sayısının karesini alırsak $100a^2+10(2a+3)+6=(10a+6)^2$ olur. Onlar basamağı da eşit olacağından $2a+3=10k+a$ olur ki onu sağlayan sadece $7$ rakamı var. O halde $25$ ve $76$ olmak üzere $2$ adet iyi sayı vardır.

---

$x^2-x=x(x-1)$ olarak yazarsak ardasik carpan olarak yazabiliriz. Tabi basamak cozumlemesini tercih ederim.

Answer 1

Sayimiz AB sayisi olsun.

$(10a+b)^2-10a-b=0(Mod100)$ ise

$100a^2+20ab+b^2-10a-b=0(Mod100)$ gelir.Buradan da.

$10a.(2b-1)+b^2-b=0(Mod100)$ olur.Sol taraftaki 10 carpanli ifadenin sürekli 10 tak kati geleceğinden sağdaki ifadeninde onun gibi son basamaganin 0 gelmesi gerekir.Bunun için verilen rakamin karesi ile kendisi cikarttigimizda son basamagi 0 olmalidir.Bu rakamlarda sadece $0,1,5,6$dir.Demek ki sadece b dort rakami alabilir.Bu rakamlari yerine koyduğumuzda sadece $5 ve 6$  icin $a=2$ ve $a=7$ gelir.O zaman 2 tane elemanimiz olabilir.

Comments

Şu ana kadar gördüğüm 3 cevap içerisinden en mantıklı çözüm hocam teşekkürler.

---

Düşünce zenginliği adina müsait olduğun bir zaman diğer çözümleride ekler misin ?

---

Yorumlara kendi çözümümü yazdım. Hocaya sorduğumda $\frac{x(x-1)}{100}=k$ şeklinde yazdı. Biri $25$ diğeri $4$'e bölünmesi şartıyla $100$'e bölünme sağlanabilirdi. O halde $76$ ve $25$ sayıları iyi sayılardır. İlk anlattığında anlamamıştım şu anda iyice özümsedim epey mantıklıymış bu da.

---

Hocanin çözümü daha güzel.

---

Ben iki çözümü de gayet beğendim hocam :) Başta ben de buradan gidecektim aslında ama insan deneme mantığıyla yorum kabiliyetinin $\%50$'sini kaybediyor adeta :)