diophantine denklemlerinin çözüm kümesi

Question

 $ax+by=c$ formunda diophantine denklemlerinin çözümlerinin var olması için $(a,b)=d$ aldığımızda $d|c$ ise denklemin çözümü vardır ve biz bir çözümü biliyorsak genel çözümünün de $x=x_{0}+(b/d)t$ ve $y=y_{0}-(a/d)t$ şeklinde olduğunu biliyoruz...

peki denklem $ax-by=c$ formunda verilirse bunu $ax+b(-y)=c$ şeklinde alıp çözümü yine aynı yolla yapıp genel çözümde $y$ için $-y=y_{0}-(a/d)t$ alıp $y=-y_{0}+(a/d)t$ biçiminde çözebilirmiyim?

Comments

icin rahatlasin diye bir cozum yazdim, sorun olursa cevabin altinda yorum olarak sorabilirsin.

---

tesekkur ederim cevap icin..

Answer 1

$ax +(-b)y=c$ formunda alıp genel cozumünde yazdığın $b$  yerine $(-b)$ yazman yeterli , çünkü $a$ ve $b$  sıfır olmayan tamsayilar olarak tanimlanir 

Comments

bu durumda obeb için öklid algoritmasında sıkıntı yaşıyorum..yukarıda yazdığım şekilde bir hata olup olmadığını merak ediyorum sadece,bu konuda yardımcı olursanız sevinirim ..:)

Answer 2

Olayin mantigina inersek: 

$(a,b)=1$ ancak ve ancak oyle  $x,y \in \mathbb{Z}$ var ki $ax+by=1$.

Burdaki en buyuk ortak bolen ozellikerinden, 

$ax+by=c$ esitligini saglayan $x,y \in \mathbb{Z}$ ikilisi vardir ancak ve ancak $(a,b)|c$.

Simdi bir de elimizde $ab+b(-a)=0$ var, yani $a(\frac bd)+b(-\frac ad)=0$ var, hatta $a(t\frac bd)+b(-t\frac ad)=0$ var her $t$ sayisi icin..

Burdaki hic bir islem pozitiflik ya da negatiflik icermiyor.
ilkinde $a=u, b=v$ dersek
ikincisinde de $a=n, -b=m$ dersek kolaylik icin, hic bir fark olmadigini goruruz.

Comments

Yada şunu yazmamiz  aynı anlama mi gelir 

$(a,b)=(a,-b)=d$ işaretten bağımsız olarak genel   çözümü  etkilemez 

---

tam olarak etkilemez demeyelim de: isaret degistirtir. $3+2=3-(-2)$ olur.

---

obeb bolenlerin en buyugu olduguna gore etkilemez diyebiliriz aslinda cunku $(a,b)=(-a,b)=(a,-b)=(-a,-b)=d$ seklinde ifade edilir. $a$ ve $b$ sabitlerine bagli isaret degisimlerinde ne yapilacagina dair fikir yurutuyorum ama $x$ ve $y$ ye bagli herhangi bir degisim yapabilme durumum ne onun bilinmezindeyim..:)

---

Bilinmezlige dusmeye gerek yok.

$a,b >0$ ve $(a,b)=d$ olsun. oklit agoritmasiyla $ax+by=d$ olacak sekilde $x,y \in \mathbb{Z}$ bulabiliriz.

Bu cozum hepsine uygulanabilir: $ax+(-b)(-y)=d$ olur.

Sorudakine donersek: $ax-b(-y)=d$ esitliginden ikilimiz $x,-y$ olur.

---

haklisiniz...tesekkur ederim aciklayici anlatimlariniz icin...