Sezgisel Kümeler Kuramı hakkında (TOPLAMSAL GRUP) ve Bir ispat

Question

$\mathbb{R}$ 'nin çıkarma altında kapalı olan ve 0'ı eleman olarak içeren altkümelerine toplamsal grup veya sadece "grup" denir.

$\mathbb{X}\subseteq\mathbb{Z}$ bir grup olsun.

Bir ve sadece bir tek n $\in \mathbb{N}$  için $\mathbb{X}=n\mathbb{Z}$ eşitliğini kanıtlayın.

ve

Genel olarak ,$a,b$ $\in\mathbb{Q}$ için ,   $a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}=c\mathbb{Z}$     eşitliğini bir   $c\in\mathbb{Q}$ kesirli sayısı için sağlanacağını gösteriniz

Comments

$n$ sayisi elemanlarin ebob'u olabilir mi?

---

elemanlar tamsayılar olduguna göre ebob 1 olabilir eğer x kümesindeki elemanların ebobunu diyorsanız tam anlayamadım birde denklemde n i aşşagı atıp $\dfrac{1}{n}\mathbb{X}=\mathbb{Z}$ yapabiliyormuyuz kümelerde sanırım bu da mümkün değil.

---

Fikir olsun diye soyledim. Ikinci sorunda $c=ebob(a,b)$ oluyor. Bunun icin daha onceden bahsettigim Oklit algoritmasini kullanabilirsin.

Answer 1

Soruda verilen ilk ifade doğru olmaz diye düşünüyorum. Neden? $X=\Bbb{Z}$ olsun. Ancak $X=1\Bbb{Z}=(-1)\Bbb{Z}$ olur ki $n$ birden fazladır.

İkinci soru için;
$a=\frac{p_1}{q_1}$ ve $b=\frac{p_2}{q_2}\in \Bbb{Q}$ elemanlarını alalım. $ekok(q_1,q_2)=q$ diyelim. Bu durumda $q_1\mid q$ ve $q_2\mid q$ yani; $q=q_1r_1$ ve $q=q_2r_2$ olacak şekilde $r_1,r_2\in \Bbb{Z}$ vardır.
$a=\frac{p_1}{q_1}=\frac{p_1r_1}{q_1r_1}=p_1r_1\frac{1}{q}$ ve $b=\frac{p_2}{q_2}=\frac{p_2r_2}{q_2r_2}=p_2r_2\frac{1}{q}$. Aradığımız $c=\frac{1}{q}$ olur. $a$ ve $b$ elemanlarını $c$ yönüyle yazabildiğimizden $a\Bbb{Z}+b\Bbb{Z}=c\Bbb{Z}$ ifadesini görmek zor olmasa gerek.

Comments

Bence ilk sorudaki $n$ sayisi negatif olmayan en kucuk tam sayi kosulu ile olabilir.

---

Ayrıca pozitif denirse ispatı yazarız. 

---

Alt kume tanimi 

$0$ iceren bos olmayan
ve her $x,y$ icin $xy^{-1}$'i iceren.

---

daha oncekı konuya yorum yapmıştım ali nesin'in sezgısel kumeler kuramından aldım bu tanımı

http://nesinkoyleri.org/e-kutuphane/ders-notlari/skk.pdf
kitap sayfası 28 alıştırma 2.26