Biraz kümeler kuramı biraz analiz

Question

$Teorem:$ Gerçel sayılar kümesinin, uzunlukları toplamı 1 olan ve birleşiminin her kesirli sayıyı içeren aralıkları vardır.

$Kanıt:$ Kesirli sayılar kümesi $\mathbb{Q}$'nun sayılabilir sonsuzlukta olduğunu biliyoruz. Demek ki kesirli sayıları $q_0 , q_1 , . . . q_n, . . . $ diye numaralandırabiliriz. Her $n$ doğal sayısı için, uzunluğu $\frac{1}{2^{n+1}}$ olan  $(q_n - \frac{1}{2^{n+2}} , q_n + \frac{1}{2^{n+2}})$ açık aralığını alalım. Bu aralıklar tüm kesirli sayıları içerir ve elbette uzunlukları toplamı $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + . . . = 1$'dir.

Ayrıca aralıkları daha da kısaltarak toplam uzunluğu $0$'dan büyük olmak koşuluyla dilediğimiz kadar küçültebiliriz.

$Soru:$ Kesirli bir sayı olmayan $\pi$'yi bu aralıkların dışında bırakabilir misiniz?

Answer 1

Evet.  

Fikir: $\pi$ den büyük rasyonel sayıları içeren ve toplam uzunluğu $\frac12$ olan (sorudakine benzer şekilde) aralıklar seçelim. Ama aralıklarımızın $\pi$ yi içermemesine dikkat ederek. Sayımız $\pi$ ye"çok yakın" ise  aralığı biraz sağa kaydırırız.

Daha açık olarak: $q_n>\pi$ olmak üzere $(x_n,x_n+\frac1{2^{n+2}})$ aralığını seçeriz. Burada $x_n=\begin{cases}q_n-\frac1{2^{n+3}},\quad q_n\geq \pi+\frac1{2^{n+3}}\textrm{ ise}\\ \frac{\pi+q_n}2,\quad q_n<\pi+\frac1{2^{n+3}}\textrm{ ise}\end{cases}$

Benzer şekilde $\pi$ den küçük rasyoneller için de toplam uzunluğu $\frac12$ olan aralıklar seçeriz.

Hepsi birlikte istenen aralıkları oluşturur.

Aynı fikirle istediğimiz kadar (sonlu çoklukta)  sayıyı dışarıda bırakabiliriz.