Question

$\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k)^3-(2k)}=?$

Answer 1

\begin{equation}\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{n}\left( \dfrac {1} {\left( 2k\right) ^{3}-2k}\right) = \lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{n}\left[ \dfrac {1} {\left( 2k\right) \left( 2k+1\right) \left( 2k-1\right) }\right] \end{equation}

\begin{equation}\ =lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{n}\left[ \dfrac {\left( -1\right) } {2k}+\dfrac {\left( \dfrac {1} {2}\right) } {2k+1}+\dfrac {\left( \dfrac {1} {2}\right) } {2k-1}\right] \end{equation}

\begin{equation}\ = lim _{n\rightarrow \infty }\left[ \cdot \sum _{k=1}^{n}\dfrac {1} {2k}+\sum _{k=1}^{n}\dfrac {\left( \dfrac {1} {2}\right) } {2k+1}+\sum _{k=1}^{n}\dfrac {\left( \dfrac {1} {2}\right) } {2k-1}\right] \end{equation} 

limite geçersek ;

\begin{equation}\ =\left[ -\sum _{k=1}^{\infty }\dfrac {1} {2k}+\sum _{k=1}^{\infty }\dfrac {\left( \dfrac {1} {2}\right) } {2k+1}+\sum _{k=1}^{\infty }\dfrac {\left( \dfrac {1} {2}\right) } {2k-1}\right]  \end{equation}

serileri açalım ;

\begin{equation}\ =\left[ \left( -\dfrac {1} {2}-\dfrac {1} {4}-\dfrac {1} {6 }-\ldots \right) +\dfrac {1} {2}\left( \dfrac {1} {3}+\dfrac {1} {5}+\dfrac {1} {7}+\ldots \right) +\dfrac {1} {2}\left( 1+\dfrac {1} {3}+\dfrac {1} {5}+\dfrac {1} {7}+\ldots \right) \right]  \end{equation}

düzenleyelim ;

\begin{equation}\ = \left[ \left( -\dfrac {1} {2}-\dfrac {1} {4}-\dfrac {1} {6}-\ldots \right) +\dfrac {1} {2}\left( \dfrac {1} {3}+\dfrac {1} {5}+\dfrac {1} {7}+\ldots \right) +\dfrac {1} {2}\left( \dfrac {1} {3}+\dfrac {1} {5}+\dfrac {1} {7}+\ldots \right) +\dfrac {1} {2}\right] \end{equation}

\begin{equation}\ = \left[ \left( -\dfrac {1} {2}-\dfrac {1} {4}-\dfrac {1} {6}-\ldots \right) +\left( \dfrac {1} {3}+\dfrac {1} {5}+\dfrac {1} {7}+\ldots \right) +\dfrac {1} {2} +1-1\right]  \end{equation}

\begin{equation}\ = \left[ \left( 1-\dfrac {1} {2}+\dfrac {1} {3}-\dfrac {1} {4}+\dfrac {1} {5}-\dfrac {1} {6}+\dfrac {1} {7}-\ldots \right) -\dfrac {1} {2}\right] \end{equation}

tekrar toplam sembolüyle yazalım;

\begin{equation}\ = \left( \sum _{m=1}^{\infty }\dfrac {\left( -1\right) ^{m+1}} {m}\right) -\dfrac {1} {2}    olur. \end{equation}

\begin{equation}\sum _{m=1}^{\infty }\dfrac {\left( -1\right) ^{m+1}} {m} \end{equation}

serisi Mercator serisinin özel halidir. Ve \begin{equation}\sum _{m=1}^{\infty }\dfrac {\left( -1\right) ^{m+1}} {m} = \ln 2\end{equation}

olmak üzere;

\begin{equation}\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{n}\left( \dfrac {1} {\left( 2k\right) ^{3}-2k}\right) = \left( \ln 2\right) -\dfrac {1} {2} \end{equation} 

olur.

Ben böyle olduğunu düşünüyorum. Yanlışlarım varsa affola..

Comments

3 kez kontrol ettim , bende $Ln2-\frac{1}{2}$ buluyorum :-)

---

sonsuza ıraksayan seriler olunca biraz korkuyorum açıkçası. yanlış yapma ihtimali artıyor :)

---

senin çözümünde çok mantıklı gidiyor , ancak ben parantezde ki terimleri düzenleme durumuna girmeden  $Euler-Mascheroni$ sabitini kullanıyorum  $Ln2$ hemen geliyor , ama bir kaç kez daha bakacağım , ya ben bir terimi ışınlıyorum , ya da sen  parantezleri düzenlerken bir terimi ışınlıyorsun :-)))

---

sizin çözümünüzü merak ettim.mantığını daha çok. Euler - Mascheroni sabitini duymamıştım..

---

Cevap doğru, tekrar toplam sembolü yazalımdan sonrası da doğru.. Fakat toplamı 3 toplama ayıramayız pozitif olsa hepsi olur da, negetiflikten dolayı olmaz.. 

---

cevabın doğru gelmesi tesadüf müdür o zaman? 

---

Hangi cevap hocam   acaba ben mi   yanliş   yaptim acaba şüphe ettim şimdi :-)

---

Düzenlendiğinde yine aynı sonuç gelecek, çünkü yakınsak bir dizi.. 

---

http://m.wolframalpha.com/input/?i=summation+1%2F%288k3-2k%29&x=4&y=7

---

Ben yarın çözümumu  yazayım  karsilastiralim -:))  terimleri düzenleme işi  yatmadı kafama 

---

Mathematica  $\ln 2-\frac12$ yazıyor

---

toplamı 3 e ayırdıktan sonra 1/2 parantezine alarak hata yapmışım :). halbu ki o üç ıraksak serinin orjinal hallerini değiştirmemem gerekiyordu.. düzelttim cevabımı

---

Bence limite geçersek kısmı hala yanlış, çünkü altındaki toplam $-\infty+\infty+\infty$

---

O zaman  limite gecmeden parantez içi düzenlenecek ve  kismi toplam dizisi   elde edilmeli  , yani üç toplaminda kısmı toplamlar dizisi üzerinde oynamaliyiz