$\epsilon\cdot N>1$ esitsizligi icin uygun $N$ dogal sayisi

Question

$\epsilon>0$ olsun. $\epsilon \cdot N>1$ esitsizligi saglayan bir $N$ dogal sayisi her zaman var midir? Ispatlayiniz.

Comments

N 0 olursa olmaz ?

---

Sabit olan $N$ degil, $\epsilon$.

---

e 1/8 olsun n 4 olsun,1 den küçük olur ?

---

0 haric herzaman vardır çünki doğal sayılar kümesi $\mathbb{N}=${0,1,2,3,4,5,6,7,8.....} Yani $f(0)=0 ,f(1)=1$  ve $n=k+1 :k \in\mathbb{N},$    $\forall n\geq1$ geçerli olan bir kümedir eğer ben 1için sağlarsam her $k+1$ için sağlarım ve doğru olur.$\epsilon$ için 2 dersek 1i sağlarız sadece 0ı sağlamaz 0 haric tüm doğal sayılar sağlar.Daha elementer olursak $N=\dfrac{1}{\epsilon}$ ve    $\epsilon>0$  olduğu bilindiğine göre $\epsilon$ sonsuz olsa bile $0>0$ mümkün olmadığından bu ifade 0 haric her N doğal sayısı için doğrudur deriz.

---

$\epsilon=\sqrt 2$ ya da $\epsilon=2/3$ olabilir ve bu durumda hicbir $N$ icin $N=1/\epsilon$ olmaz. Ayrica sifi olmadigini belirtmeye gerek yok, cunku zaten $\epsilon>0$ ise dedik.

Kadir, Zaten her $N$ icin demiyoruz, bir adet $N$ var midir diyoruz. eger $\epsilon=1/8$ alirsan $9\epsilon>1$ olur.

---

yanlışmı dedim gene ne oldu şimdi :D

---

Hocam ben yazdıgımın arkasındayım çünki eşitlik yokki eşitsizlik var ve eşitsizligin sağ tarafı doğal sayı olmayabilir   $\epsilon$=$\sqrt2$ için $N$>$\dfrac{1}{\sqrt2(1.412....)}$ yine 0 hariç her doğal sayı için sağlıyor 0dan büyük her epsilon için.

---

birşey daha eklemeliyim epsilon (0,1] aralığında degil ise dediklerim doğru ama zaten istedigim epsilonu seçebilirim soruda epsilonun birtek 0dan büyük olması koşulu var bence soruyu modifye etmelisiniz sercan hocam diğer türlü istedigim bir epsilon degeri için 0 hariç tüm doğal sayıları saglıyorum.

---

"Daha elementer olursak $N=\frac1{\epsilon}$ ..."  dedigin yer icin soyledim onu.

Zaten $\epsilon \not \in (0,1]$ ise bu durumda $\epsilon>1$ olur ve $N$'yi direkt $1$ olarak secebiliriz. Asil mesele zaten $\epsilon \in (0,1]$ icin gostermek. 

Neden modifiye etmem gerekir? $\epsilon=1/8$ icin her $N$ dogal sayisi degil, $8$'den buyul dogal sayilar icin $N \cdot \epsilon>1$ oluyor.

---

hocam $(0,1]$ aralıgına girince hem epsilon değişken hemde N oyuzden ispatlamak için referanslılık gösteremiyoruz N doğal sayı olduğu için epsilona bir koşul daha getirmek gerekmezmi.çünki şöyle birşey oluyor  $\epsilon$  $\not\in$ $(0,1]$ için ilk yazdığım şekılde 

$\mathbb{N}$$-${0} demek bariz ama  $\epsilon$  $\in$ $(0,1]$  iken hertarafı çarpma işlemine göre ters çevirirsek $\epsilon$  $\not\in$ $(1,\infty)$ olur yani epsilonu $\infty$ seçersen $\infty$  'u aşacak değer olmadıgından hiçbir {$k:\in\mathbb{N}$} için sağlamaz demek istedigim nokta bu .

Answer 1

Comments

$N=\left\lfloor\frac1\varepsilon\right\rfloor+1$ ($\lfloor \ \rfloor$ tam değer fonksiyonu)

(ve daha büyük her doğal sayı)

---

Belirli bir aralık veya küme vermek mümkün degil demi hocam bunun dışında.Ancak epsilonu koşullarsak belirli bir küme yaratabiliriz sanırım. bu arada güzel bir çözüm elinize sağlık.

---

Foton yiyen, peki bu gercekten dogru mu? Yani bu $N$ ile $\epsilon$'u carparsak $1$ olur mu? Ispatini yapabilir misin? 

---

$x-1 < [|x|] \leq x$ olur. Bu nedenle $\epsilon>0$ icin  $$\epsilon\left(\left[\left|\frac{1}{\epsilon}\right|\right] +1 \right)>\epsilon \left(\frac{1}{\epsilon}-1+1\right)=1$$ olur.

Answer 2

I. Durum: $\epsilon\geq 1$ olmak üzere $N=2$ alınırsa $$\epsilon \cdot N>1$$ koşulu gerçeklenir.

II. Durum: $0<\epsilon< 1$ olmak üzere $N=\left\lfloor\frac{1}{\epsilon}\right\rfloor+1$ alınırsa $$\epsilon\cdot N>1$$ koşulu gerçeklenir.

Answer 3

$N=\left[\left|\frac{1}{\epsilon}\right|\right] +1$ seciminin dogrulugunun ispati: 

$x-1 < [|x|] \leq x$ olur. Bu nedenle $\epsilon>0$ icin  $$\epsilon\left(\left[\left|\frac{1}{\epsilon}\right|\right] +1 \right)>\epsilon \left(\frac{1}{\epsilon}-1+1\right)=1$$ olur.