Binomal formüller üretelim.$(x+y+z+t)^n$

Question

$1\star$   $(x+y+z)^n$


$2\star$    $(x+y+z+t)^n$

binomlarını formülüze ediniz.

Comments

1.) $\sum_{k=0}^n\binom{n}{n-k}x^{n-k}.p^{k}$ eğer $p^k=(y+z)^k$ olursa;

$p^k=\sum_{t=0}^k\binom{k}{k-t}y^{k-t}.z^t$

$\sum_{k=0}^n\sum_{t=0}^k\binom{n}{n-k}.\binom{k}{k-t}x^{n-k}.y^{k-t}.z^t$ olur. 

2.)$(A+B)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{n-k}A^{n-k}B^k........................*$  da 

$A^{n-k}=(x+y)^{n-k}=\sum_{t=0}^{n-k}\binom{n-k}{n-k-t}x^{n-k-t}y^t$

$B^k=(z+t)^k=\sum_{p=0}^k\binom{k}{p}z^{k-p}.t^p$   Bu iki ifade $(*)$ da kullanılırsa formül elde edilir.

Answer 1

Binom tamamen secime dayaniyor. Bu nedenle genel olarak $$(a_1+\cdots+a_n)^m=\sum\limits_{\begin{matrix}m_1,\cdots, m_N \geq 0\\m_1+\cdots+m_n=m\end{matrix}} \left(\begin{matrix}m\\ m_1,\cdots.m_n\end{matrix}\right)a_1^{m_1}\cdots a_n^{m_n}$$ olur.

Comments

Hocam lütfen biraz daha açıklayınız birdaha baktımda çok kavrayamadım.

---

Hangi kisminda aciklama istiyorsun. 


$(a_1+a_2+\cdots+a_n)$'i $m$ kere yaz ve carp. Herbirinden birer eleman alarak carp.

Bunlari kume olarak gorurusen
$a_1$ elemanini $m_1$
$a_2$ elemanini $m_2$
$\vdots$
$a_n$ elemanini $m_n$
gozukuyorsa. Bu secimi $$\frac{m!}{m_1!m_2!\cdots m_n!}$$ degisik sekilde yapabilirsin.

---

16.000 benden size:)

---

Oha, hic bakmamistim puana uzun zamandir. Hadi hayirli olsun vatana millete :)

---

Sercan hocanın demeye çalıştığı şey şu sanırım: $\overbrace{(a_1+a_2+\cdots+a_n)(a_1+a_2+\cdots+a_n)...(a_1+a_2+\cdots+a_n)}^{m\ tane}$ sen bu şekilde açıp $b_1+b_2+...+b_n=m$ olacak şekilde $a_1^{b_1}.a_2^{b_2}....a_n^{b_n}$ ifadesini kaç farklı şekilde dizebileceğini bulman lazım. Yani 1. parantezden $a_1$ çarpanını seçiyorsun mesela 2. parantezden $a_5$ olsun 3. parantezden de $a_1$ seç $m=3$ olsun. Seçtiğin eleman $a_1^2.a_5$ olur. Tekrarlı permütasyondan $\frac{3!}{2!.1!}=3$ adet $a_1^2.a_5$ elemanı vardır.

---

ben destan yazıyorum görürsünüz:) kim daha açıklayıcı oluyor.

---

Benim zaten Türkçem sıfır anlattığımı ben bile doğru düzgün anlamadım :) Ama Sercan hocanın ne dediğini anladım onunki açıklayıcı.

---

hocanın dedıgını bende anladım ama genel çözüm çıkarttıramıyor gerçi 2full cevap yapıcam ben de tam cıkaramıyacam ama 3.cevapta çıkarırır :) bu arada bunu yapan yokmu daha önce?

---

Neyi yapan yok mu :)