Sorunuzun cevabı: Evet. İki normal altgrubun kesişimi normal bir altgruptur.
$G$ grubunun $H$ ve $K$ normal altgrupları verilsin.
Öncelikle, $H \cap K$ bir altgruptur. Bunun bilindiğini varsayıyorum.
Şimdi, gelişigüzel bir alalım $g \in G$ alalım ve $x \in H \cap K$ varsayalım. O halde $x \in H$ ve $x \in K$ sağlanır.
$$H \text{ normal } \implies g^{-1}xg \in H$$
ve
$$H \text{ normal } \implies g^{-1}xg \in K$$
olduğuna göre, $g^{-1}xg \in H \cap K$ sağlanır. Yani $H \cap K$ normal bir altgruptur.
Birşeyin "normal altgrup" olduğunu gösterirken düşülen tuzaklardan biri, altgrup olup olmadığına bakmadan "normal" olduğunu göstermeye girişmektir. Buna dikkat etmeli.