$f: F^n \to F^n$ lineer bir fonksiyon olsun. $$v = \begin{bmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix} \in V$$ vektoru icin
$$f(v) = f(\begin{bmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}) = f(\begin{bmatrix} a_1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} + \ldots + \begin{bmatrix} 0\\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}) = f(a_1\begin{bmatrix} 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} + \ldots + a_n\begin{bmatrix} 0\\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}) $$ve lineerlikten $$=a_1f(\begin{bmatrix} 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}) + \ldots + a_nf(\begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}) $$ olur. Ama matris carpmasinin tanimini biliyorsak eger, bunun kolonlari $f([1,0,\ldots, 0]^t), \ldots, f([0, \ldots, 1]^t)$ olan matris ile $[a_1, \ldots, a_n]^t$ kolon vektorunun carpimi oldugunu gorebiliriz. Dolayisiyla her $f$ lineer fonkiyonu bir matris tanimlar. Yani elimizde bir $\mathrm{End}(F^n) \to \mathrm{Mat}(n, F)$ fonksiyonu var. (Burada $\mathrm{End}(F^n)$ kumesi $F^n$'den $F^n$'ye lineer fonksiyonlar kumesi, $\mathrm{Mat}(n, F)$ kumesi de $n\times n$ matrisler.)
Bu fonksiyon lineer bir fonksiyon. Birebir ve orten. Bunlarin kanitlanmasi lazim. Ama zor degil. Ustelik bir lineer fonksiyon tersinir olmasi icin gerek ve yeter kosul ilgili matrisin tersinir olmasi. Bu da bize $GL(F^n) \to GL(n, F)$ fonksiyonunu verir.