$GL(n,\mathbb{F})$ ve $GL(V)$ ilişkisi

Question

  Representation theory kitaplarında hem $GL(n,\mathbb{F})$ hem de $GL(V)$ kullanılıyor. $V$ burada $\mathbb{F}^n$ , bir vektör uzayı olarak geçiyor. $GL(n,\mathbb{F})$ 'deki matrisler $n$x$n$'lik tersinir matrisler grubu ve $GL(V)$, $\mathbb{F}^n$'den $\mathbb{F}^n$'e giden lineer fonksiyonlar iken ben bir matris ile bir fonksiyonu nasıl ilişkilendiririm kavrayamıyorum. Mesela sonlu bir $G$ grubunun vektör uzayı $V$'ye etkisini nasıl iki şekilde düşünebilirim?

Comments

$\def\FF{\mathbb{F}}$  $GL(V)$'nin $\FF^n$'den $\FF$'e giden lineer fonksiyonlar olduguna emin misin? $\FF^n \to \FF^n$ olmasin?

---

Haklısınız hocam, dediğim şey $V^*$ için geçerli, soruyu kırpayım olmazsa.

---

Ben hoca degilim :/ Kirp, bakalim.

---

Ne zaman hoca olcaksin peki? :)

---

Abi umarım hiçbir zaman Özgür Hoca olmam ya. Özgür iyi işte. 

Answer 1

$f: F^n \to F^n$ lineer bir fonksiyon olsun. $$v = \begin{bmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix} \in V$$ vektoru icin

$$f(v) = f(\begin{bmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}) = f(\begin{bmatrix} a_1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} + \ldots + \begin{bmatrix} 0\\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}) = f(a_1\begin{bmatrix} 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} + \ldots + a_n\begin{bmatrix} 0\\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix})  $$ve lineerlikten $$=a_1f(\begin{bmatrix} 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}) + \ldots + a_nf(\begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix})  $$ olur. Ama matris carpmasinin tanimini biliyorsak eger, bunun kolonlari $f([1,0,\ldots, 0]^t), \ldots, f([0, \ldots, 1]^t)$ olan matris ile $[a_1, \ldots, a_n]^t$ kolon vektorunun carpimi oldugunu gorebiliriz. Dolayisiyla her $f$ lineer fonkiyonu bir matris tanimlar. Yani elimizde bir $\mathrm{End}(F^n) \to \mathrm{Mat}(n, F)$ fonksiyonu var. (Burada $\mathrm{End}(F^n)$ kumesi $F^n$'den $F^n$'ye lineer fonksiyonlar kumesi, $\mathrm{Mat}(n, F)$ kumesi de $n\times n$ matrisler.)

Bu fonksiyon lineer bir fonksiyon. Birebir ve orten. Bunlarin kanitlanmasi lazim. Ama zor degil. Ustelik bir lineer fonksiyon tersinir olmasi icin gerek ve yeter kosul ilgili matrisin tersinir olmasi. Bu da bize $GL(F^n) \to GL(n, F)$ fonksiyonunu verir.

Comments

Gerçekten açıklayıcı bir cevap olmuş. Yani şöyle diyebilir miyiz:

$GL(\mathbb{F}^{n})$'den aldığımız herhangi bir $f$ elemanının $\mathbb{F}^{n}$'nin orthonormal baz elemanlarını eşleme kuralını veren bir $M_f \in GL(n,\mathbb{F})$ matrisi vardır.

---

Evet. Bazın ortonormal olmasına da gerek yok. Her baz için olur bu. Ama dikkat etmek gereken bir şey var. Baz değişirse M_f de değişir.