$X$ herhangi bir küme ve $\beta\subseteq X^2$ olmak üzere $$\beta, \text{ ters simetrik}\Leftrightarrow \beta\cap\beta^{-1}\subseteq I_X$$

Question

Bu teoremi ispatlayınız.

Not: $$I_X=\{(x,x)|x\in X\}$$

Bu soru ile ilgili olarak.

Comments

Ters-simetrigin tanimi nedir?

---

Tanım: $X$ herhangi bir küme ve $\beta\subseteq X^2$ olmak üzere $$\beta, \text{ ters simetrik}:\Leftrightarrow (\forall x,y\in X)[((x,y)\in\beta \wedge (y,x)\in\beta)\Rightarrow x=y]$$

---

$\beta^{-1}$'in tanimi nedir?

---

$X$ herhangi bir küme ve $\beta\subseteq X^2$ (yani $\beta$, $X\text{'}$de bağıntı) olmak üzere

$$\beta^{-1}:=\{(y,x)|(x,y)\in\beta\}$$ bağıntısına $\beta$ bağıntısının tersi denir.

Answer 1

Gerek Kısmı: $\beta$ bağıntısı ters simetrik ve $(x,y)\in \beta\cap \beta^{-1}$ olsun. 

$\left.\begin{array}{rr} (x,y)\in \beta\cap \beta^{-1}\Rightarrow ((x,y)\in \beta)((x,y)\in \beta^{-1})\Rightarrow ((x,y)\in \beta)((y,x)\in \beta)\\ \\ \beta, \text{ ters simetrik} \end{array}\right\}\Rightarrow x=y \Rightarrow (x,y)\in I_X$

O halde $$\beta\cap \beta^{-1}\subseteq I_X.$$

Yeter Kısmı: $\beta\cap \beta^{-1}\subseteq I_X, \,\ (x,y)\in\beta \,\ $ ve $\,\ (y,x)\in \beta$  olsun.

$\left.\begin{array}{rr} (y,x)\in \beta\Rightarrow (x,y)\in\beta^{-1} \\ \\ (x,y)\in\beta \end{array}\right\}\Rightarrow (x,y)\in\beta\cap\beta^{-1}\overset {\text{Hipotez}}\Rightarrow (x,y)\in I_X\Rightarrow x=y.$

O halde $$\beta, \text{ ters simetrik}.$$