Question

$A$ sonlu bir küme ve $f:A\rightarrow A$ örten fonksiyon ise $f$ in bire-bir olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$f(A)=A$ ise $|A| \leq |f(A)|$ olmali, yani $f$ birebir olmali.

Comments

Yorum yapmanız lazım Sercan bey. 

---

Ne gibi?                 

---

Yorum yapmis oldum..

---

Bunu demek istemedim. farklı elemanların görüntüleri aynı olsa $|A|\neq |f(A)|$ olur ki bu ise $f$ in örtenliği ile çelişir gibi...

---

bu neden celiski olur?

---

$f(A) $ daki eleman sayısı azalır.

---

yani $|A|>|f(A)|$ olur diyorsunuz?

---

aynen öyle diyorum

---

peki bu bize ne veriyor?

---

$f$ örten olmaz.

---

simdi terse dogru gidersek eger yorumdaki bilgilerden:

$f$ orten ise $|A|  \leq |f(A)|$ olmali, o halde birebir olmali. 

istediginiz ispatin ters yonlusu cikti benim yaptigin. 

---

Aksini varsayalım: $f$ birebir olmasın. O zaman, 

1) Örtenlikten: her $y\in A$ için $f(x)=y$ yapan bir $x\in A$ vardır. 

2) Birebir olmamaklıktan: öyle bir $y\in A$ vardır ki enaz iki $x_1, x_2\in A$ için: $$f(x_1)=f(x_2)=y$$ sağlanır.

1 ve 2 ile $A$'da (enaz) bir elemanın boşta kalacağı anlaşılır ki bu fonksiyon olmanın tanımına terstir; çelişki!

Sonuç: $f$ birebirdir.

                                  ********************************************

a) İsbat doğru mudur?

b) Benim için açık olmayan kısım: Burada $A$ sonsuz bir küme olsaydı ne farkederdi? 

---

1 için çok bir şey demeye gerek yok, yani çok bariz bi çıkarım oldugundan ne desek doğrudur neredeyse.. 

2 için $f(x)=x^3-x$ reel sayılar üzerinde örten ama birebir değil.

---

ispat doğru. $g:\Bbb{Z}\rightarrow \Bbb{Z}$ ve $x\in \Bbb{Z}$ için $x$ çiftse $g(x)=x$ ve $x$ tekse $g(x)=\frac{x-1}{2}$ olarak tanımladığımızda $g$ örten ancak bire-bir olmaz. yine geç kaldım!

---

İkinize de çok teşekkür ederim!