Sayın hocam dizilerde sağdan ve soldan limit söz konusu değildir. Bir fonksiyonun belirli bir noktasında sağdan (soldan) limitinden bahsedebilmemiz için o noktanın fonksiyonun tanım kümesinin sağdan (soldan) yığılma noktası olması gerekir. Bir noktanın bir kümenin sağdan (soldan) yığılma noktası olması ise şöyle tanımlanır:
$A\subseteq\mathbb{R}$ ve $a\in\mathbb{R}$ olmak üzere
$$a, A\text{'nın sağdan yığılma noktası}:\Leftrightarrow a\in D(A\cap (a,\infty))$$
$$a, A\text{'nın soldan yığılma noktası}:\Leftrightarrow a\in D(A\cap (-\infty,a)).$$
Tanımda geçen $$D(A\cap (a,\infty))$$ kümesi, $A\cap (a,\infty)$ kümesinin türev kümesidir yani $A\cap (a,\infty)$ kümesinin bütün yığılma noktalarının oluşturduğu kümedir.
Gerçel değişkenli ve gerçel değerli fonksiyonlar için sağdan (soldan) limit kavramları şöyle tanımlanır:
Tanım: $A\subseteq \mathbb{R},$ $f\in\mathbb{R}^A,$ $a\in D(A\cap (a,\infty))$ (yani $a,$ $A$ kümesinin SAĞDAN yığılma noktası) ve $L\in\mathbb{R}$ olmak üzere
$$\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=L$$
$$:\Leftrightarrow$$
$$(\forall \epsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in A)(a<x<a+\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon).$$
Not: Dikkat edilirse gerçel değişkenli ve gerçel değerli bir fonksiyon için belirli bir noktada SAĞDAN limitten BAHSEDEBİLMEMİZ için o noktanın fonksiyonun tanım kümesinin SAĞDAN yığılma noktası olması gerekiyor. Aksi takdirde yani söz konusu nokta fonksiyonun tanım kümesinin bir SAĞDAN yığılma noktası değil ise SAĞDAN limitten BAHSEDEMEYİZ. Tıpkı bir fonksiyonun tanım kümesine ait olmayan noktalar için süreklilikten bahsedemediğimiz gibi.
Tanım: $A\subseteq \mathbb{R},$ $f\in\mathbb{R}^A,$ $a\in D(A\cap (-\infty,a))$ (yani $a,$ $A$ kümesinin SOLDAN yığılma noktası) ve $L\in\mathbb{R}$ olmak üzere
$$\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=L$$
$$:\Leftrightarrow$$
$$(\forall \epsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in A)(a-\delta <x<a\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon).$$
Not: Dikkat edilirse gerçel değişkenli ve gerçel değerli bir fonksiyon için belirli bir noktada SOLDAN limitten BAHSEDEBİLMEMİZ için o noktanın fonksiyonun tanım kümesinin SOLDAN yığılma noktası olması gerekiyor. Aksi takdirde yani söz konusu nokta fonksiyonun tanım kümesinin bir SOLDAN yığılma noktası değil ise SOLDAN limitten BAHSEDEMEYİZ. Tıpkı bir fonksiyonun tanım kümesine ait olmayan noktalar için süreklilikten bahsedemediğimiz gibi.
Bu bilgiler ışığı altında sorunuzu tekrar ele alalım:
Fonksiyonunuzun tanım kümesi $\mathbb{N}.$ $$D(\mathbb{N}\cap (3,\infty))=D(\{4,5,6,\ldots\})=\emptyset$$ olduğundan $3$ noktasında sağdan limitten,
$$D(\mathbb{N}\cap (-\infty,3))=D(\{1,2\})=\emptyset$$ olduğundan $3$ noktasında soldan limitten BAHSEDEMEYİZ.
Şimdi gelelim bu fonksiyonun sürekli olduğunu nasıl göstereceğimize:
Süreklilik tanımı değil liselerde Türkiye'deki birçok üniversitede de bile YANLIŞ veriliyor. Buradaki linkte de yer alan sorumu sorma gerekçem de bu idi. Yani
"$A\subseteq \mathbb{R}, $ $f\in \mathbb{R}^A$ ve $a\in A$ olmak üzere eğer $f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki limiti, fonksiyonun o noktada aldığı değere eşit ise $f$ fonksiyonuna $a$ noktasında süreklidir denir"
şeklindeki tanım (!) eksik. Açıklama için yukarıdaki linki inceleyiniz.
Sizin sorunuz "$$f(x)=x$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu $$a=3(\in\mathbb{N})$$ noktasında sürekli midir?" sorusu ile aynı soru. Şimdi bu fonksiyonun $3$ noktasında sürekli olduğunu gösterelim. Bu fonksiyonun $3$ noktasında sürekli olduğunu göstermek için süreklilik tanımı gereği $$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in\mathbb{N})(|x-3|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(3)|<\epsilon)$$ önermesinin doğru olduğunu yani
$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)\forall x[x\in\mathbb{N}\Rightarrow (|x-3|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(3)|<\epsilon)]$$ önermesinin doğru olduğunu yani
$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)\forall x[(x\in\mathbb{N}\wedge |x-3|<\delta)\Rightarrow |f(x)-f(3)|<\epsilon]$$ önermesinin doğru olduğunu yani
$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)\forall x[(x\in\mathbb{N}\wedge x\in (3-\delta,3+\delta))\Rightarrow f(x)\in (f(3)-\epsilon,f(3)+\epsilon)]$$ önermesinin doğru olduğunu yani
$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)\forall x[x\in\mathbb{N}\cap (3-\delta,3+\delta)\Rightarrow f(x)\in (f(3)-\epsilon,f(3)+\epsilon)]$$ önermesinin doğru olduğunu yani
$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)\underset{\mathbb{N}\cap (3-\delta,3+\delta)\subseteq f^{-1}[(f(3)-\epsilon,f(3)+\epsilon)]}{\underbrace{\forall x\left [x\in\mathbb{N}\cap (3-\delta,3+\delta)\Rightarrow x\in f^{-1}[(f(3)-\epsilon,f(3)+\epsilon)]\right ]}}$$ önermesinin doğru olduğunu yani
$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\mathbb{N}\cap (3-\delta,3+\delta)\subseteq f^{-1}[(f(3)-\epsilon,f(3)+\epsilon)])$$ önermesinin doğru olduğunu yani
$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(f[\mathbb{N}\cap (3-\delta,3+\delta)]\subseteq (f(3)-\epsilon,f(3)+\epsilon))$$ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz. Şimdi soru
"Keyfi bir $\epsilon>0$ verildiğinde önermenin doğru olması için $\delta>0$ sayısını nasıl seçmeliyiz?"
sorusuna dönüştü. Önermeye biraz yoğunlaştığımızda keyfi bir $\epsilon>0$ verildiğinde $0<\delta\leq 1$ seçilirse söz konusu önermenin doğru olacağını görmenin zor olmadığını anlarız. Şöyle ki: Keyfi bir $\epsilon>0$ verildiğinde $0<\delta\leq 1$ seçilirse
$$f[\mathbb{N}\cap (3-\delta,3+\delta)]=f[\{3\}]=\{f(3)\}=\{3\}\subseteq (3-\epsilon,3+\epsilon)=(f(3)-\epsilon,f(3)+\epsilon)$$ koşulu sağlanır. Demek ki
$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(f[\mathbb{N}\cap (3-\delta,3+\delta)]\subseteq (f(3)-\epsilon,f(3)+\epsilon))$$ önermesi doğru yani $f$ fonksiyonu $3$ noktasında SÜREKLİDİR.