Sürekliliğin şu tanımını kullanalım:
$f$, $x \in X$ noktasında sürekliyse bir açık $V \subset Y$, $f(x) \in V$ için bir $U \subset X$ vardır öyle ki $x \in U$ ve $f(U) \subset V$.
Şimdi $x \in \bar{A} \subset X$ için rastgele bir $V \subset Y$ alalım öyle ki $V$, $Y$de açık olsun. O zaman biliyorum ki açık bir $x \in U \subset X$ vardır öyle ki $f(U) \subset V$. $U$ açık bir küme ve $x$'i içeriyor aynı zamanda $x \in \bar{A}$ ise $U \cap A \neq \emptyset$ .(Kümenin kapanışı tanımından).
O zaman $ \emptyset \neq f(U) \cap f(A) \subset V \cap f(A) $. En başta $V$'yi rastgele bir açık küme olarak almıştık, elimizde $f(x) \in V$ ve $V \cap f(A) \neq \emptyset$ var o zaman diyebiliriz ki $f(x) \in$ $\overline{f(A)}$.