Teorem: $(X,\tau_1),(Y,\tau_2)$ topolojik uzaylar ve $f:X\to Y$ fonksiyon olmak üzere
$$f, (\tau_1\mbox{-}\tau_2) \text{ sürekli}\Leftrightarrow (\forall A\subseteq X)\left(f\left[\overline{A}\right]\subseteq \overline{f[A]}\right)$$
İspat: Önce gerek kısmını ispatlayalım. $f, (\tau_1\mbox{-}\tau_2)$ sürekli ve $A\subseteq X$ olsun.
$\left.\begin{array}{rr} A\subseteq X\Rightarrow \overline{f[A]}\in\mathcal{K}_2 \\ f, (\tau_1\mbox{-}\tau_2) \text{ sürekli} \end{array}\right\}\Rightarrow f^{-1}\left[\overline{f[A]}\right]\in \mathcal{K}_1\Rightarrow \overline{f^{-1}\left[\overline{f[A]}\right]}=f^{-1}\left[\overline{f[A]}\right]\ldots (1)$
$A\subseteq f^{-1}\left[f[A]\right]\subseteq f^{-1}\left[\overline{f[A]}\right]\Rightarrow \overline{A}\subseteq\overline{f^{-1}\left[\overline{f[A]}\right]}\ldots (2)$
$(1),(2)\Rightarrow \overline{A} \subseteq f^{-1}\left[\overline{f[A]}\right]\Rightarrow f\left[\overline{A}\right]\subseteq \overline{f[A]}.$
Yeter kısmını sana bırakıyorum.