$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0$$ olsun.
$$\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$$ olduğunu göstereceğiz.
$$\lim\limits_{x\to a}x=a$$ olduğunu limit tanımından kolayca gösterebilirsin. Sonrasında da şu teoremlerden faydalanalım.
(1) İki fonksiyonun toplamının limiti, ayrı ayrı limitlerinin toplamına eşittir.
(2) İki fonksiyonun çarpımının limiti, ayrı ayrı limitlerinin çarpımına eşittir.
$$\lim\limits_{x\to a}a_nx^n\overset{(2)}=a_n\cdot\lim\limits_{x\to a}x^n=a_n\cdot\underset{n \text{ tane}}{\underbrace{\lim\limits_{x\to a}x\cdot \lim\limits_{x\to a}x\cdot\ldots\cdot\lim\limits_{x\to a}x}}=a_n\cdot a\cdot a\cdot a\cdot\ldots \cdot a=a_n\cdot a^n$$ olacaktır. O halde
$$\lim\limits_{x\to a}f(x)$$
$$=$$
$$\lim\limits_{x\to a}(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0)$$
$$\overset{(1)}=$$
$$\lim\limits_{x\to a}a_nx^n +\lim\limits_{x\to a}a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+\lim\limits_{x\to a}a_1x+\lim\limits_{x\to a}a_0$$
$$\overset{(2)}=$$
$$a_n\cdot\lim\limits_{x\to a}x^n +a_{n-1}\cdot\lim\limits_{x\to a}x^{n-1}+\ldots+a_1\cdot\lim\limits_{x\to a}x+a_0$$
$$=$$
$$a_n\cdot a^n +a_{n-1}\cdot a^{n-1}+\ldots+a_1\cdot a+a_0$$
$$=$$
$$f(a)$$ olur.