$\star\star\star$ $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}sin^nx$ için $\displaystyle\int\left[\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}sin^nx\right]dx$ 'in integral hesabı

Question

$\star\star\star$ $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}sin^nx$ için  $\displaystyle\int\left[\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}sin^nx\right]dx$  integrali nasıl hesaplanır?

http://matkafasi.com/76849/star-star-star%24-displaystyle-sin-dx%24-genel-cozumunu-veriniz

$\displaystyle\int sin^nx.dx=-\dfrac{sin^{n-1}x.cosx}{n}+\dfrac{n-1}{n}\displaystyle\int sin^{n-2}x.dx$

olarak uygularım

 $\displaystyle\int\left[\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}sin^nx\right]dx \equiv \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left[\displaystyle\int \sin^nx.dx\right]$   diyip cevab için;

$\star\star\star$ $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}sin^nx$ için  $\displaystyle\int\left[\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}sin^nx\right]dx=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left[-\dfrac{sin^{n-1}x.cosx}{n}+\dfrac{n-1}{n}\displaystyle\int sin^{n-2}x.dx\right]$ yazarım 

$------------------------$

$\displaystyle\int sin^{n-2}x.dx=-\dfrac{sin^{n-3}x.cosx}{n}+\dfrac{n-3}{n-2}\displaystyle\int sin^{n-4}x.dx$

$\displaystyle\int sin^{n-4}x.dx=-\dfrac{sin^{n-5}x.cosx}{n}+\dfrac{n-5}{n-4}\displaystyle\int sin^{n-6}x.dx$

:

:

$\displaystyle\int sin^{2}x.dx=\dfrac{1}{2}\left[x-\dfrac{sin2x}{2}\right]$

$\displaystyle\int sinx.dx=-cosx$

$------------------------$

sonuç olarak

$\star\star\star$ $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}sin^nx$ için  $\displaystyle\int\left[\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}sin^nx\right]dx=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left[-\dfrac{sin^{n-1}x.cosx}{n}+\dfrac{n-1}{n}\displaystyle\int sin^{n-2}x.dx\right]$ içinde yerlerine yazarsak;

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left[-\dfrac{sin^{n-1}x.cosx}{n}+\dfrac{n-1}{n}\left(-\dfrac{sin^{n-3}x.cosx}{n}+\dfrac{n-3}{n-2}\displaystyle\int sin^{n-4}x.dx\right)\right]$

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left[-\dfrac{sin^{n-1}x.cosx}{n}+\dfrac{n-1}{n}\left(-\dfrac{sin^{n-3}x.cosx}{n}+\dfrac{n-3}{n-2}\left(-\dfrac{sin^{n-5}x.cosx}{n}+\dfrac{n-5}{n-4}\displaystyle\int sin^{n-6}x.dx\right)\right)\right]$

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left[-\dfrac{sin^{n-1}x.cosx}{n}+\dfrac{n-1}{n}\left(-\dfrac{sin^{n-3}x.cosx}{n}+\dfrac{n-3}{n-2}\left(-\dfrac{sin^{n-5}x.cosx}{n}+\dfrac{n-5}{n-4}\left(\ddots_{\ddots}\right)\right)\right)\right]$ olur

Soru;  $\displaystyle\int\left[\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}sin^nx\right]dx \equiv \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left[\displaystyle\int \sin^nx.dx\right]$  diyebilir miyim?

ve mantık hatam var mı?

Comments

Mantığın doğru ama toplamın alt sınırın $1$ olmalı, üst sınırının da sonlu olması gerekir diye düşünüyorum. Ya da bu toplamın $n\rightarrow\infty$ için limiti alınmalı.

Answer 1

Evet mantıksız degıl ama gereksizmiş, nasıl olurda seri formâlını goremem :(



$|sinx|\le 1$ olduğundan 


$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (sinx)^n=\dfrac{1}{1-sinx}$   olur ,dolayısıyla entegrasyon;


$\displaystyle\int\left[\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}sin^nx\right]dx=\displaystyle\int \dfrac{1}{1-sinx}dx$

$\displaystyle\int \dfrac{1}{1-sinx}dx$  için,

$tan(x/2)=u$, $dx=2du/(1+u^2)$  ,$sinx=(2u)/(1+u^2)$,$cosx=(1-u^2)/(1+u^2)$


Dolayısıyla,

$\boxed{\boxed{\displaystyle\int\left[\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}sin^nx\right]dx=\displaystyle\int \dfrac{1}{1-sinx}dx=\displaystyle\int\dfrac{1}{u^2-2u+1}dx=-\dfrac2{tan(x/2)-1}+C}}$