$k_{n}=\left[ \frac{na}{2\pi }\right] $ ve $s_{n}=\left[ \frac{nb}{2\pi }\right] $ olsun. Yeteri kadar büyük $n\in \mathbb{N}$ ler
için
\[k_{n}\leq \frac{na}{2\pi }<\frac{nb}{2\pi }<s_{n}+1\text{ ve }\frac{na}{2\pi
}<k_{n}+1\leq s_{n}\leq \frac{nb}{2\pi }
\]
Dikkat edilecek olursa bu eşitsizliklerden
\[
\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\left( s_{n}-k_{n}-1\right) }{n}
=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\left( s_{n}-k_{n}+1\right) }{n}=\frac{b-a
}{2\pi }
\]%
elde edilir.
\[
I_{n}=\int\limits_{a}^{b}\left\vert \sin \left( nx\right) \right\vert dx=
\frac{1}{n}\int\limits_{na}^{nb}\left\vert \sin x\right\vert dx
\]
dir. O halde
\[
\frac{1}{n}\int\limits_{2\pi \left( k_{n}+1\right) }^{2\pi s_{n}}\left\vert
\sin x\right\vert dx\leq I_{n}\leq \frac{1}{n}\int\limits_{2\pi k_{n}}^{2\pi
\left( s_{n}+1\right) }\left\vert \sin x\right\vert dx
\]
$\left\vert \sin x\right\vert $ fonksiyonunun $2\pi $ periyotlu
olduğu göz önüne alınırsa
\[
\frac{\left( s_{n}-k_{n}-1\right) }{n}\int\limits_{0}^{2\pi }\left\vert \sin
x\right\vert dx\leq I_{n}\leq \frac{\left( s_{n}-k_{n}+1\right) }{n}
\int\limits_{0}^{2\pi }\left\vert \sin x\right\vert dx
\]
bulunur. Buradan $\int\limits_{0}^{2\pi }\left\vert \sin x\right\vert dx=4$
olduğundan
\[
\lim_{n\rightarrow \infty }\int\limits_{a}^{b}\left\vert \sin (nx)\right\vert
dx=\frac{2\left( b-a\right) }{\pi }
\]
elde edilir.