Question

\begin{equation} \int x^{x}dx=? \end{equation}

Answer 1

Seri gösterimini elde etmek için şöyle başlanabilir.

$x>0$ olmak üzere, $y=x^{x}$ diyelim. Buradan

$y=e^{x\ln x}$

olur. Bu eşitlikte sağ taraf kuvvet serisi biçiminde ifade edelim,

$y=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{\left( x\ln x\right) ^{n}}{n!}$

Buradan integralle

$\int x^{x}dx=\int \sum_{n=0}^{\infty }\frac{\left( x\ln x\right) ^{n}}{n!}dx$

eşitliği elde edilir. İntegralle serinin yerleri değiştirilerek baştan ilk birkaç terimin integrali alınabilir.

Comments

hocam integrali içeri dağıtırsak;

\begin{equation}\sum _{n=0}^{\infty }\int \dfrac {\left( x\ln x\right) ^{n}} {n!}dx\end{equation}

\begin{equation}\sum _{n=0}^{\infty }\dfrac {1} {n!}\int \left( x\ln x\right) ^{n}dx\end{equation}u=ln(x) dönüşümü yapıp düzenleyelim:

=> \begin{equation}\sum _{n=0}^{\infty }\dfrac {1} {n!}\int e^{u.\left( n+1\right) }.u^{n}du\end{equation}

\begin{equation}\sum _{n=0}^{\infty }\dfrac {1} {n!}\dfrac {1} {\left( n+1\right) ^{n}}\int e^{u\left( n+1\right) }.\left( \left( n+1\right) u\right) ^{n}du\end{equation}

u.(n+1)=t dersek ve düzenlersek;

=> \begin{equation}\sum _{n=0}^{\infty }\dfrac {1} {\left( n+1\right) !}\cdot \dfrac {1} {\left( n+1\right) ^{n}}\int e^{t}t^{n}dt\end{equation} olur.

burdan sonra bişey gelir mi bilmiyorum. En son gelen integralin sınırları belli olup sınırları sıfırdan sonsuza olsaydı, faktöriyel fonksiyonu olurdu. bi nebze daha somut bişey elde edilebilirdi diye düşünüyorum. ama genel haliyle ilgili yorum yapamadım.

---

teşekküler          

Answer 2

$e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$ ve $x^x=e^{x\ln x}$ oluşundan,

$$\int x^x\:dx=\int\sum_{n=0}^\infty\frac{(x\ln x)^n}{n!}\:dx=\sum_{n=0}^\infty\left(\int\frac{x^n(\ln x)^n}{n!}\:dx\right)$$ olur. $\int x^n(\ln x)^n\:dx$ integrali kısmi integrasyonla hesaplanıp yerine konursa $\int x^x\:dx$ bir sonsuz toplam olarak (ama kuvvet serisi değil) bulunur. Buradan da (biraz da limit alarak)

 $$\int_0^1 x^x\:dx=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^n}=1-\frac1{2^2}+\frac1{3^3}-\frac1{4^4}+\cdots$$

Bulunur (Johann Bernoulli bulmuş)

Comments

$\int x^n(\ln x)^m\:dx=\frac{x^{n+1}(\ln x)^{m}}{n+1}-\frac m{n+1}\int x^{n}(\ln x)^{m-1}\:dx$ indirgeme formülünü $n$ kez kullanarak $\int x^n(\ln x)^n\:dx$ hesaplanabiliyor. (Bir üssü hatalı yazmışım, düzelttim)

---

Saolun Doğan hocam, güzel çözüm için

---

teşekkürler         

Answer 3

Yukarıdaki integrantın ilkelinin olduğu sanmıyorum. yukarıdaki integral hesaplanamaz

Answer 4

$\int_0^1 x^x\, dx$ in (sonsuz seri şeklinde) güzel bir değeri var. Sanırım Johann Bernoulli bulmuş. 

Comments

nasıl buluyor? bi kaynak var mı öğrenebileceğim bildiğin?

Answer 5

Louville'nin Diferansiyel Cebir'e dâir teoremine göre bu integralin elemanter fonksiyonlar cinsinden çözümü mümkün değildir. Bu teoremin sonuçlarına göre, $f$ ve $g$ ($g$ sâbit değil) rasyonel fonksiyonlar olmak üzere, $$\int f(x)e^{g(x)}\,dx$$ ifâdesinin elemanter olması içün gerek-yeter şart, $$f(x)=R'(x)+R(x)g(x)$$ ifâdesini sağlayan $R(x)$ rasyonel fonksiyonunun mevcûdiyetidir.

Pek akademik kaynaklar sayılmazlar ama, kusura bakmayınız:

http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%27s_theorem_(differential_algebra)

http://www.sosmath.com/calculus/integration/fant/fant.html

Elemanter olmayan integrasyon başlığı altında birçok kaynak bulmak mümkündür. Yukarıdaki ilk bağlantıdan da görüldüğü üzere, sâdece temel integral bilgileriyle meseleyi anlamak pek kolay değildir. Bu meseleyi etraflıca ve herkesin anlayabileceği şekilde anlatacak biri çıkarsa çok güzel olur (Meselâ Matematik Dünyası'nın ileriki sayılarına alınabilir belki de...).

Yukarıda arkadaşların yaptığı "yaklaşımlar" ise dâimâ mümkündür, eyvallah. Sanırım arkadaşın sorduğu şey, elemanter şekilde integrasyondur; sorunun esprisi ancak bu durumda olmakta zîrâ.