Teorem: Doğal sayıların kartezyen karesinde
$$\alpha=\{((a,b),(c,d))|a+_{\mathbb{N}} d=b+_{\mathbb{N}} c\}\subseteq \mathbb{N}^2\times\mathbb{N}^2$$ bağıntısı bir denklik bağıntısıdır.
Tanım (Tamsayı, Tamsayılar Kümesi): Doğal sayıların kartezyen karesinde bir önceki teoremdeki $\alpha$ denklik bağıntısına göre oluşan denklik sınıflarının her birine bir tamsayı; denklik sınıflarından (tamsayılardan) oluşan bölüm (oran) kümesine de tamsayılar kümesi denir.
$$\mathbb{Z}:=\mathbb{N}^2/\alpha =\{[(a,b)]|(a,b)\in\mathbb{N}^2\}$$
Tanım (Tamsayılarda Eşitlik): $[(a,b)],[(c,d)]\in\mathbb{Z}$ olmak üzere
$$[(a,b)]=_{\mathbb{Z}}[(c,d)]:\Leftrightarrow a+_{\mathbb{N}}c=_{\mathbb{N}}b+_{\mathbb{N}}d$$ şeklinde tanımlanır.
Tanım (Tamsayılarda Toplama): $[(a,b)],[(c,d)]\in\mathbb{Z}$ olmak üzere
$$[(a,b)]+_{\mathbb{Z}}[(c,d)]:=_\mathbb{Z}[(a+_{\mathbb{N}} c,b+_{\mathbb{N}}d)]$$ şeklinde tanımlanır.
İpucu: Aşağıdakiler yeterli olacaktır.
Tanım (Tamsayılarda Çarpma): $[(a,b)],[(c,d)]\in\mathbb{Z}$ olmak üzere
$$[(a,b)]\cdot_{\mathbb{Z}}[(c,d)]:=_\mathbb{Z}[(a\cdot_{\mathbb{N}} c+_{\mathbb{N}}b\cdot_{\mathbb{N}} d,a\cdot_{\mathbb{N}} d+_{\mathbb{N}}b\cdot_{\mathbb{N}} c)]$$ şeklinde tanımlanır.
Tanım (Tamsayılarda Sıralama): $[(a,b)],[(c,d)]\in\mathbb{Z}$ olmak üzere
$$[(a,b)]\leq_{\mathbb{Z}}[(c,d)]:\Leftrightarrow a+_{\mathbb{N}}d\leq_{\mathbb{N}}b+_{\mathbb{N}}c$$ şeklinde tanımlanır.
Tanım (Pozitif Tamsayı, Negatif Tamsayı): $[(a,b)]\in\mathbb{Z}$ olmak üzere
$$[(a,b)] \text{ pozitif}:\Leftrightarrow b<_{\mathbb{N}}a$$
$$[(a,b)] \text{ negatif}:\Leftrightarrow a<_{\mathbb{N}}b $$
$$\mathbb{Z}^+:=\{[(a,b)]|b<_{\mathbb{N}}a\}$$
$$\mathbb{Z}^-:=\{[(a,b)]|a<_{\mathbb{N}}b\}$$