Temel(Fundamental) grup elemanları

Question

$X$ bir topolojik uzay olsun. Rastgele bir $x_0 \in X$  için $x_0$'da temel grup $\pi_{1}(X,x_0)$'ı tanımlayalım. 

Doğru anladıysam eğer bu grubun elemanları path-homotopy (yol homotopi?) sınıflarından oluşuyor öyle ki bu $x_0$ noktasında bir sürü path/yol tanımlayabilirim öyle ki bazılarını bazılarına dönüştürebilirim ama bunların bazıları bazılarına dönüştürülemez. Birbirine dönüştürebildiklerimi bir sınıfa atıyorum, böylece birkaç sınıfım oluyor ve bu sınıflar bu $\pi_{1}(X,x_0)$ grubunun elemanları.

Buraya kadar doğru mu anlamışım?

Eğer anladıysam şöyle bir sorum var, neden bu yollardan bazıları bazılarına dönüştürülemiyor? Ne zaman sadece bir sınıfım oluyor? Örneğin $R^n$ uzayında bir $x_0$ noktası alırsam $\pi_{1}(R^n,x_0)$ grubu tek elemanlıymış yani bu gruptaki bütün yollar birbirine dönüştürebiliyormuş. Bunun nedeni de anlamadığım başka bir nokta.

Umarım derdimi açıkça anlatabilmişimdir.

Comments

İlk paragraf için: Evet. $x_0$ noktasında başlayıp $x_0$ da biten yollara bakıyorsun. Birbirlerine dönüşebilenler bir denklik sınıfı oluşturuyorlar. Temel grubun elemanları bu sınıflar. Ama tabii elemanları "sınıf" olarak düşünmek doğal gelmiyor. Sen sadece yollar olarak düşün ama iki yol birbirine dönüşebiliyorsa aynı olsun.

İkinci paragraf için: En basit örnek $\mathbb{R}^2 - \{0\}$. Herhangi bir başlangıç noktası seç burada ve sıfırın etrafında bir kere yol al. Bu yol nullhomotopic değil. Yani sabit yola dönüştürülemez. Ben bunu şöyle düşünüyorum: Elektrikli süpürge kullanıyorsun. Kablo sandalyenin etrafından bir kere dolanmış. Çekiyorsun çekiyorsun gelmiyor.

---

Elektrikli süpürge fikri çok güzelmiş :)

Peki şöyle bir şey diyebilir miyim:

Path-connected(yol bağlantılı?) bir uzayda herhangi bir yolun null-homotopic olduğunu göstermem bu uzayın herhangi bir temel grubunun tek elemanlı olduğunu mu gösterir? $R^n$ örneğinde böyle mi düşünmeliyim?

---

Evet. Temel grubun tek elemanlı olmasi tam olarak söylediğin şey.

---

Yol bağlantılı bir uzayda, bir noktanın çevresindeki kapalı yolların homotopi sınıfları grubu, hesabın yapıldığı noktadan bağımsızdır. Ancak bir noktada dikkatli olmak gerek. Yani, bir yanlış anlama durumu var sanırım, o yüzden uyarayım istedim.

Herhangi bir yolun null-homotopic olması, herhangi her yolun homotopic olması demek değildir. Bir noktada etrafındaki her yol null homotopic ise, başka bir noktanın çevresindeki her yol da null homotopictir.