$(X,\tau_1),(Y,\tau_2)$ topolojik uzaylar ve $K\subseteq X\times Y$ olmak üzere
$$``\pi_1[K], \ \tau_1\text{-kompakt})(\pi_2[K], \ \tau_2\text{-kompakt})\Rightarrow K, \ \tau_1\star\tau_2\text{-kompakt}"$$
önermesi doğru mudur?
Standart metrik topolojisiyle $X=Y=[0,1]$ olsun ve $K=\{(x,y) \in [0,1]^2 | x=y\} \cup B((\frac{1}{2},\frac{1}{4}), \frac{1}{100})$ olarak seçelim. Bu durumda $\pi_1[K]=\pi_2[K]=[0,1]$ tıkız bir kümedir ancak $K$ kapalı olmadığı için tıkız da olamaz (zira bir Hausdorff uzayındayız).
Okudum, ogrendim yorumu: Standart topolojide $x^2+y^2<1$ cemberine $(0,1),(1,0),(-1,0),(0,-1)$ noktalarini eklesek ters ornek olur.
Eklenen noktalar yeterli olmuyor sanırım.
Yanlış yazmışım. Düzelttim.
Sadece $(1,1)$ ve $(-1,-1)$ noktalarını eklemek bile yetiyor sanırım.
Evet, yeter. Ben cemberi bozmak istemedim.