Metrik uzaylarda açık küme tanımı şöyle yapılır:
Tanım: $(X,d)$ metrik uzay ve $A\subset X$ olmak üzere
$$A, (X,d)\text{'de açık küme}:\Leftrightarrow (\forall a \in A)(\exists \epsilon > 0)(B(a,\epsilon)\subset A)$$
$$B(a,\epsilon):=\{x\mid d(x,a)< \epsilon , x\in X \}$$
Bir $(X,d)$ metrik uzayında açık kümelerin oluşturduğu aileyi $\tau_d$ ile gösterirsek bu aile $\emptyset$ ve $X$ kümelerini içerir, sonlu kesişime ve keyfi birleşime göre kapalı olur. Bu, metrik uzaylardaki önemli bir teoremdir. Ancak açık küme tanımını verirken uzaklık kavramını kullandığımızı dikkat edin. Sadece açık kümelerde değil bir fonksiyonun belirli bir noktadaki limiti, sürekliliği ve bir dizinin limiti tanımlarını verirken hep uzaklık kavramını kullanırız. Topoloji de bu uzaklık kavramından vazgeçerek aynı kavramların tanımlarını açık kümeler cinsinden nasıl verebiliriz sorusu üzerine ortaya çıkmış bir bilim dalıdır. Topoloji tanımının bugün ele aldığımız şekli ile verilmesinin en önemli esin kaynağı yukarıda ifade etmiş olduğum metrik uzaylardaki teoremden olsa gerek. Topoloji tanımını verdikten sonra "topolojinin elemanlarına açık küme diyelim" demek suretiyle uzaklık kavramını kullanmadan açık küme tanımını ifade etmişler. Birtakım temel kavramlardan sonra limit, süreklilik ve yakınsaklık gibi birçok kavram artık uzaklık kavramından bağımsız olarak ifade edilebilmiştir. Bu ise bize işleri daha da soyutlaştırmanın yolunu açmıştır. Mesela $$f(x)=x^2$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$$ fonksiyonu sürekli midir sorusu sorulduğunda biraz matematik eğitimi almış olan herkes iyi kötü bir cevap verir. Ancak $X=\{a,b\}$, $Y=\{c,d,e\}$ olmak üzere $$f=\{(a,c),(b,d)\}$$ fonksiyonu sürekli midir diye soru sorulduğunda ise birçok kişi cevap veremeyecektir. Ancak topoloji dersini almış olan bir kişi $X$ ve $Y$ kümesi üzerinde hangi topolojiler vardır diye bir soru sorarak başlar işe. En azından öyle olmasını umarız.
Kısacası topoloji, soyut matematiğin tadını tavan yaptırır.