$$f'(c)=0\quad \quad \text{dır.}$$
İspat (maximum için);
$f'(c)$'nin bir yerel ekstremumda sıfır olduğunu göstermek için,önce $f'(c)$ 'nin pozitiv olamayacağını , sonra da negativ olamayacağını göstericeğiz.
$f$ 'nin $x=c$ 'de , $c$'ye yeterince yakın her $x$ değerinde $f(x)-f(c)\le0$ olacak şekilde bir yerel maximum değeri olduğunu varsayın.
$c$, $f$ 'nin tanım kümesinin bir iç noktası olduğu için ,$f'(c)$ ,
$$\lim\limits_{x\to c}\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}$$ iki taraflı limitiyle verilir.Bu, $x=c$ 'de hem sağdan hem de soldan limitlerin var olduğunu ve
$f'(c)$ 'ye eşit olduğunu anlamına gelir.Bu limitleri ayrı ayrı incelediğimizde,
$$f'(c)=\lim\limits_{x\to c^+}\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}\le 0\quad\quad \Longleftarrow \; \begin{align}(x-c)>0 \\ f(x)\le f(c) \end{align}$$
Aynı şekilde,
$$f'(c)=\lim\limits_{x\to c^-}\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}\ge 0\quad\quad \Longleftarrow \; \begin{align}(x-c)<0 \\ f(x)\le f(c) \end{align}$$
Yukardaki limitler birlikte, $f'(c)=0$ olmasını gerektirir ve yerel maximum teoremi ispatlanır $\Box$
İspat (minimum için);
Yerel maximum teoreminin ispatındaki gibi yapalım ama bu sefer her $x$ değeri için tanım aralığındaki minimum $c$ noktası için $f(c)\le f(x)$ olduğundan ve,
$$f'(c)=\lim\limits_{x\to c^+}\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}\ge 0\quad\quad \Longleftarrow \begin{align}(x-c)>0 \\ f(x)\ge f(c) \end{align}$$
Aynı şekilde,
$$f'(c)=\lim\limits_{x\to c^-}\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}\le 0\quad\quad \Longleftarrow \begin{align}(x-c)<0 \\ f(x)\ge f(c) \end{align}$$
Yukardaki limitler birlikte, $f'(c)=0$ olmasını gerektirir ve yerel minimum teoremi ispatlanır $\Box$