Soruya eksiksiz bir açıklama yapmak biraz vakit alacak, umarım okuyanları fazla sıkmam.
Limit tanımı yaparken,
Limitin (varsa) tek (=biricik) olmasını garanti etmek için,
(limit alınacak olan) $a$ sayısı ile fonksiyonun tanım kümesi arasında bir koşul sağlanması istenir (gerekir).
Aksi halde HER sayını limit olduğu durumlarla karşı karşıya kalırız.
Bu koşul, lise (ve üniversite 1. sınıf düzeyinde) genellikle şöyle belirtilir (buna "limitin ön koşulu" diyebiliriz):
"$f,\ a$ sayısını içeren bir açık aralıkta, belki $a$ sayısı dışında, tanımlı olsun"
Fakat bu koşul gereğinden fazla kısıtlayıcıdır (Limitin, varsa, tek olması için yeterlidir ama gerekli değildir). Bu sorudaki durumda bu koşul uçlarda ($a$ ve $b$) sağlanmıyor. Sanırım tartışmanın kökeni bu. Lise ve üniversite ilk yıllarında, bu gibi durumlara (doğal olarak) pek değinilmez veya sorun (biraz zorunlu olarak) "geçiştirilir".
Bu "ön koşul", çoğu üniversitenin Matematik Bölümü 2. sınıfında veya sonra bu koşul (tam olması gerektiği kadar) hafifletilir.
Bu yeni "ön koşul" şudur (Murad Özkoç un pek çok kez limit probleminde belirttiği gibi):
$a$ sayısı $f$ fonksiyonunun tanım kümesinin bir limit (=yığılma) noktası olsun.
Bu önemli kavramın tanımı şöyle yapılır:
$a$ yı içeren HER açık aralıkta $f$ nin tanım kümesinde olan ve $a$ dan FARKLI en az bir sayı vardır. (Bu kavram yalnızca bir değişkenli fonksiyonlarda değil, topolojik uzaylar arasında tanımlı fonksiyonların hepsinde aynı öneme sahiptir)
(bu koşul limitin varsa tek olması için gerekli ve yeterlidir)
Yukarıda grafiği verilen fonksiyonda $a$ ve $b$ noktalarında, bu yeni koşul sağlanıyor ($a$ ve $b$ bu fonksiyonun tanım kümesinin yığılma noktalarıdır). Bu nedenle limit tanımı "uygulayabiliriz" yani, limit varsa tek olacaktır.
Grafiği verilen fonksiyon için, (limit "ön koşul" sorunu bu şekilde aşıldığında) aranan limitin varlığına ($a$ da, sol uçtaki boş noktanın ikinci koordinatı, $b$ de,sağ uçtaki, dolu noktanın ikinci koordinatı) herhalde herkes inanıyor.