Question

Eleman sayısı çift olan her grup mertebesi $2$ olan bir eleman içerir.

Answer 1

Grubun eleman sayısı 2n olsun. Birim dışında 2n-1 eleman var. Bu durumda bir elemanın tersi kendine eşit yani mertebesi 2.

Answer 2

cevap.pdf (54 kb)

Download the PDF: cevap.pdf

Comments

$G$ grubunun tersi kendisine eşit olan en az bir elemanının varlığını nereden biliyoruz acaba?

---

Benim vermiş olduğum cevap icin mi yazdınız anlayamadım ama, grupta en azından birim elemanın tersi kendisine eşittir.

---

Link olarak verdiğiniz pdf 'deki ispatta böyle bir durum var. Grubun birimi $e$ olmak üzere $A\cup\{e\}\subset G$ denilmiş ve $a\neq e$ olmak üzere $a=a^{-1}$ olacak şekilde en az bir $a\in G$ den söz edilmiş.Bunun neden daima var olduğunu sormuştum.

---

Şimdi yoldayım Mehmet hocam, gün içinde açıklayıcı bir cevap vereceğim. Grubun eleman sayısının çift olmasını da düşünelim.

---

Teşekkürler.

---

$G$ çift mertebeden bir grup yani; $\mid G \mid=2m$ olacak şekilde bir $m$ pozitif tamsayısı vardır.

$e\neq a\in G$ olmak üzere $\mid G \mid =2m$ olduğundan $a^{2m}=e$. Buradan $(a^{m})^2=e$ elde edilir. $b=a^m$ diyelim. $b^2=e$ ise her iki tarafın $b^{-1}$ ile işlemlenmesi sonucu $b=b^{-1}$ elde ederiz. 

Diğer soru: $\mid A\cup \{e\} \mid=\mid A\mid +1$ (çünkü $e\notin A$) olduğundan $A\cup \{e\}$ kümesi $G$'nin öz alt kümesi olur, yani eşitlik sağlanmaz. Çünkü $G$ çift mertebeden bir grup.

---

Güzel.Emeğine ve eline sağlık.Teşekkürler.

---

Rica ederim.

Answer 3

Sylow teoremine göre, grubun mertebesi 2 olan altgrupları vardır. Bu altgruplarda (aslında sadece bir tane altgrup olduğu da Sylow teoreminden çıkarılabilir) birim eleman olmayan elemanın mertebesi 2dir.

Answer 4

Cauchy Teoremine göre eğer sonlu bir grubun mertebesini bir asal sayı bölüyorsa, $p$ $|$ $|G|$

O halde $G$, mertebesi p olan bir altgrubu ve elemanı vardır. Burada $p=2$