Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
3.8k kez görüntülendi

$y= x^2 + 2x + 16$ fonksiyonunun orijinden geçen teğetlerinin eğimleri toplamı kaçtır?

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (12 puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 3.8k kez görüntülendi
Daha kolay bir (ama biraz dikkat gerektiriyor,eğri parabol olduğu için sorun çıkarmıyor) çözüm:

(0,0) dan geçen doğrulardan hangilerinin bu eğriye teğet olduğunu bulabilirsin.

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
$y(x)$ şeklinde gösterilen düzgün bir eğrinin $x$ apsisine karşılık gelen teğet denklemi:

$T(X)=y'(x)[X-x]+y(x)$

ile verilir. Bunun gösterilmesi ise ayrı bir soru olarak sorulabilir. Bu ifâdede $x$, "belli" bir noktayı, $X$ ise doğruyu oluşturan tüm noktaları belirleyen "değişkeni" temsîl etmektedir. İki sembolün karışmaması çok önemli! 

Bu ifâdede $X=x$ noktasında teğerin değerinin, beklendiği gibi $y$ fonksiyonunun değerine eşit olduğu görülür:

$T(x)=y(x)$.

Şimdi parabol denklemini alıp hesaplara girişelim. Bu eğri için teğet denklemi,

$T(X)=2(1+x)X-(x^2-2x-16)$

şeklinde bulunur. Buradan orijinden geçen teğetlerin apsislerini bulabiliriz. $X$'ten bağımsız olan terimi $0$ yapan değerlerin toplamı istenen şeyin ta kendisidir. Bu ise kavisli parantezler içindeki ikinci dereceden denklemin köklerini bulmak anlamına gelir. İkinci dereceden bir polinomun köklerinin toplamı ise $-b/a$ şeklinde verilir. Bu da ayrı bir sorunun konusunu oluşturabilir ve cevâbı oldukça kolaydır.

O hâlde orijinden geçen teğetlerin sayısı $2$'dir ve bunlar için istenen cevâb $2$'dir. 
(1.4k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme
Fonksiyonu çizdikten sonra orijinden geçen teğet çizelim. Bunlar $y=mx$ ve $y=-mx$ olur. Teğet noktaya $a$ diyelim. $(a,a^2+2a+16)$. Bu noktadaki türevler eşit olmalı yani $y'=2a+2=\dfrac{a^2+2a+16}{a} \to a=-4,4$. Doğrular $y=(+-)4x$'miş.

$f'(4)=10$ ve $f'(-4)=-6$ toplamları $4$ ediyor
(234 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
İlk cümleyi açabilir misin? Doğruluğu konusunda.
türevin tanımı gereği diyebilirim.

 $x$ noktasındaki türev şuna denktir =  $x$ noktasından çizilen teğetin eğimi
"(0,0) noktasından çizilen teğetin eğimi ile fonksiyonun x=0 noktasındaki türevi aynı olmalı."

önermesi, eğr  (0,0) noktasından geçmiyorsa doğru değil. Bu sorudaki eğrinin (0,0) noktasından geçmediği aşikar.
Geometrik şekili nasıl çizip burada paylaşabilirim bilmiyorum. Ama kendim kağıtta fonksiyonun grafiğini çizdim daha sonra orijinden geçen teğeti çizdim ve bu teğet $y=-mx$ olduğuna inanıyorum
20,274 soru
21,803 cevap
73,476 yorum
2,428,478 kullanıcı