Yukarıda görmüş olduğunuz devre, dirençlerin hassas ölçümlerinin yapılmasında yararlanılan Wheatstone köprüsünün biraz değiştirilmiş halidir.
Şekildeki devrenin eşdeğer direnci $R_{es}$'i veren genel geçer bir formül bulalım. Aramızda elektriksel çözümlere aşina olmayan arkadaşlarımız ve hocalarımız olduğundan, örnek bir çözümü açıklamalarıyla yazıyorum.
$V_1$ üretecinin pozitif kutbunun potansiyeline $V_1$, negatif kutbunun potansiyeline $0 V$ (Şu durumda $V$ yazmaya gerek var mıydı emin değilim, 0 her çarpanı yutar sonuçta.) diyelim. Bu durumda $A$ ve $B$ uçları üretece direkt bağlantılı olduklarından potansiyelleri $V_1$ olacaktır. Aynı şekilde $E$ ve $F$ uçları da üretecin negatif kutbuna direkt bağlantılı olduğundan potansiyelleri $0 V$ olur.
Burada önemli olan $D$ ve $C$ noktaları. Onlara da sırasıyla $V_D$ ve $V_C$ diyelim. İki nokta arasındaki gerilime, yine $C$ ve $D$ noktalarını misal olarak alalım, $V_{DC}$ diyelim. Bu durumda $V_{CD}=V_C-V_D$ olmalıdır.
İdeal sistemlerde direncin iki ucundaki gerilim, direncin değeri ile üzerinden geçen akımın çarpımına eşittir. O halde $V_{CD}=V_C-V_D=R_3.i_3$ olmalıdır.
Not1: Bir noktanın tek başına potansiyeli olduğundan emin değilim. Yanlış olma ihtimali yok sayılmayacak kadar fazla. Yine de burada elektrikten ziyade matematik tartışılacağından gelin bu yazıda doğru sayalım.
Not2: $i_3$ akımının yönü temsilidir, tersine bir akım da oluşabilir. Yani $i_3$ akımının değeri negatif çıkabilir, mahsuru yoktur :) Fakat $i_1$ ve $i_2$ akımlarının yönü temsili değil, gerçeğe uygundur.
Gelelim örnek sorumuza; $R_1=5 \Omega$, $R_2=2 \Omega$, $R_3=1 \Omega$, $R_4=3 \Omega$, $R_5=7 \Omega$, $V_1=22 V$ olsun. $i_1$, $i_2$, ve $i_3$ akımlarını ayrı ayrı bulalım. Ardından da eşdeğer direnç olan $R_{es}$'i bulalım.
Bu soruyu çözmenin (en azından benim aklıma gelen) en kolay yolu noktalar arasındaki potansiyel farklardan yola çıkmak.
$V_{AD}=22V-V_D=R_1.i_1=5 \Omega. i_1$
$V_{BC}=22V-V_C=R_2.i_2=2 \Omega. i_2$
$V_{CD}=V_C-V_D=R_3.i_3=3 \Omega. i_3$
$V_{DE}=V_D-0 V=V_D=R_1.i_1=5 \Omega. (i_1+i_3)$
$V_{CF}=V_C-0 V=V_C=R_1.i_1=5 \Omega. (i_2-i_3)$
Not3: Burada $D$ ve $E$ noktaları arasındaki akıma $i_1$ ve $i_3$ yazmamızın sebebi akımların birleşip bileşke bir akım oluşturmaları. $C$ ve $F$ arasında da tersine $i_2$ akımının ayrılıp $i_3$ ve $i_2-i_3$ akımını oluşturması.
$i_1, i_2, i_3$ akımlarını bulabilmek için $3$ denklem kullanmamız gerektiği aşikar. Onları elimizdeki $5$ eşitlikten elde edelim.
$V_A=V_B$ ve $V_{BD}=22V-V_D=22V-V_C+V_C-V_D=V{BC}+V{CD}$ olduğundan $V_{AD}=V_{BC}+V_{CD}$ olmalıdır.
Benzer şekilde $V_E=V_F$ ve $V_{CE}=V_C-0 V=V_C-V_D+V_D-0V=V{CD}+V{DE}$ olduğundan $V_{CF}=V_{CD}+V_{DE}$ olmalıdır.
Son olarak da $V_{AE}=V_{AD}+V_{DE}=22V$ ve $V_{BF}=V_{BC}+V_{CF}=22V$ olmalıdır.
Denklemlerde düzenleme yapalım;
$V_{AD}=V_{BC}+V_{CD} \Rightarrow i_1.5 \Omega=i_2. 2 \Omega+ i_3.1 \Omega$
$V_{CF}=V_{CD}+V_{DE} \Rightarrow (i_2-i_3).7 \Omega=i_3.1 \Omega+ (i_1+i_3).3 \Omega$
$V_{BF}=V_{AE}=V_{AD}+V_{DE}=V_{BC}+V_{CF}=22V \\ \Rightarrow i_2. 2 \Omega+ (i_2-i_3). 7 \Omega=i_1. 5 \Omega+ (i_2+i_3). 3 \Omega=22 V$
İlk iki denklemden $\frac{i_1}{i_2}$ oranını bulmaya çalışalım.
$\displaystyle \frac{ i_1.5 \Omega-i_2. 2 \Omega}{i_2. 7 \Omega-i_1. 3 \Omega}=\frac{i_3}{i_3. 11 \Omega} \Rightarrow \frac{i_1}{i_2}=\frac{1}{2}$
Elimizdeki bu bilgilerle $i_3$'ün $i_1$ ve $i_2$ ye oranını bulalım.
$i_2. 2 \Omega+ (i_2-i_3). 7 \Omega=i_1. 5 \Omega+ (i_2+i_3). 3 \Omega \Rightarrow i_1=\frac{i_2}{2}=i_3$
Bu oranları denklemlerden herhangi birine yazarsak $2.i_1=i_2=2.i_3=4 A$ bulunur.
Ana kol akımı, yani üreteçten çıkan akım $i_{ana}=i_1+i_2=6 A$ ve $V1=i_{ana}.R_{es}$ olduğuna göre $R_{es}=\frac{22}{6} \Omega$ bulunur.
Verilen bilgiler, elektrik bilgisi hemen hemen hiç olmayan biri için bile yeterli. Bu bilgiler ışığında
a) $i_1, i_2, i_3$ akımlarını veren genel geçer formülü bulunuz.
b) $R_{es}$ eşdeğer direncinin değerini veren genel geçer formülü bulunuz.
Dipnot: Biraz uzun bir soru, ben yazarken eğlendim, umarım siz de okurken ve çözerken eğlenirsiniz :)