A ve B doğal sayılar. OKEK (A,B) =m, OBEB (A ,B) = n ise A+B ifadesinin en büyük değeri nedir ?

Question

Sitede sorunun aynısı var ama çözümü hiç açıklayıcı değil.Cevap=m+n.

Diger sorunun linki: link.

Comments

ilk olarak sunu genel bir bilgi: 

Sav: $a$ ve $b$ pozitif tam sayilar olmak uzere $$\text{okek}(a,b)\cdot\text{obeb}(a,b)=a\cdot b$$ olur.

Ispat: 
ilk olarak aralarinda asal olan $c$ ve $d$  sayilari icin $\text{okek}(c,d)=c\cdot d$ olur. Neden? $c$ ve $d$ sayilari $c\cdot d$ sayisini tam boler; ve tanimindan dolayi $\text{okek}(c,d)$ bu iki sayinin tam boldugu en kucuk pozitif tam sayi oldugundan $\text{okek}(c,d) \le c \cdot d$ olur.

(vaktim olmadi su an, bu kadari yazdim, kalsin burada, sonra devam ederim belki)
(biraz daha devam ettirdim)...

---

Teşekkür ederim bu bilgiyi biliyorum fakat soru bu bilgiyle çıkmıyor ki.A.B'nin m.n olduğunu bildiğimiz zaman A.B'nin en büyük değerinin m+n olduğunu nasıl çıkarabiliriz?

---

Bu soruyu şöyle düşünerek cevabını buldum ama emin değilim belki de saçmalamış olabilirim.OBEB(A,B)$\leq$B$\leq$A$\leq$OKEK(A,B)'dir ve A+B'nin en çok değerini istediği için A en çok m olabilir dedim.B'de en çok m olabilir dedim.Bu durumda OBEB(A,B)=B=A=OKEK(A,B) oldu.En çok değer de 2m'dir.Soruda m=n olduğu için de m+n'dir dedim.

---

bu tarz sorularda hep değer veriyorum.

---

Daha uzun bir cevap yazacaktim, hatta epey, yarim kaldi, o baslangic kismiydi.

@Alone, deger vermek ispat demek degil.

---

mesajıma baktımda ispatlıyorum yazmıyodu ^^

Answer 1

1) $A=B$ iken $OBEB(A,B)=OKEK(A,B)=n=m=A=B$ olacağından $A+B=n+m$ denebilir.

2) $A<B$   ise $OBEB(A,B)=n\Rightarrow A=a_1.n,\quad B=b_1.n$ olacak şekilde $OBEB(a_1,b_1)=1$ ve $a_1<b_1,\quad a_1,b_1\in N$ olan sayılar vardır. Ayrıca $OKEK(A,B)=m\Rightarrow A.a_2=m,\quad B.b_2=m$ olan $a_2>b_2,\quad a_2,b_2\in N$ sayıları vardır. Bu durumda ise $n\leq A<B\leq m$ olup $A+B$'nin en büyük değeri $A+m$ ve en küçük değeri ise $n+B$ dir.