Temel Lineer Cebir(Birbirine dik olan vektörlerin lineer bağımsız olduğunu kanıtlayın.)

Question

$A_1 , A_2 , . . . , A_r \in \mathbb{R^n}$ $r$ tane vektör olsun. Bu vektörlerin ikişer ikişer birbirine dik olduğunu varsayalım. Yani her $i,j ≤ r $ için $A_i \cdot A_j = 0$ olsun ve hiçbiri $0$ olmasın.   

$A_1 , A_2 , . . . , A_r$ nin lineer bağımsız olduğunu kanıtlayın.

Comments

İpucu: $c_i \cdot (c_1 a_1 + \ldots + c_r A_r) = ?$ 

Başka bir ipucu: $c_i \cdot 0 =?$

Düzeltme: $A_i$ olacak tabii o. $c_i$ değil.

---

Baştaki $a_1$ de $A_1$ olmalı sanırım?

Yine de yapamadım, biraz daha yardımcı olur musunuz?

---

Lineer bağımsız ne demek? Şu demek: eğer $c_1 A_1 + \ldots + c_rA_r =0$ ise, bütün katsayılar sıfır olmalı. Yani sıfır vektörünü yalnızca tek bir şekilde yazabiliriz lineer kombinasyon olarak.

Ok. $c_1 A_1 + \ldots + c_rA_r =0$ olsun. İki tarafın da $A_1$ ile iç çarpımını alalım. Diklikten ve bilineerlikten dolayı sol tarafta $c_1 A_1 \cdot A_1$ kalacak sadece. Sağda ise sıfır.

---

Anladım, teşekkürler. Tanımlara biraz daha önem vereyim.

---

Ya çok kötü anlattım, kusura bakma. Ama sen yaparsın bence.

---

$c_1A_1+c_2A_2+...+c_nA_n=0..........*$ eşitliğinin her iki tarafını $A_1$ ile çarpınca $c_1=0$ olur. Aynı şekilde $*$ eşitliğinin her iki tarafını $A_2$ ile çarpınca $c_2=0$ bulunur. Böylece devam edilirse $c_n=0$ olur. Fakat bu durumda $c_i=0$ iken $i\neq j$ olmak üzere $c_j=0$ olduğundan nasıl emin olabiliriz acaba? Yani bütün katsayıların aynı anda sıfır olduğundan?

---

Elimizdeki $c_i$'ler sabit. En başta sabitliyoruz. Ve  sonra bütün $c_i$'lerin sıfır olduğunu gösteriyoruz. Dolayisyla, örneğin $c_1$'in sıfır olduğunu göstermişsek, onun sıfır olduğu artık cepte.

---

Cep delik :)))

Answer 1

Ozgur'un cevabini yazayim: $$c_1A_1+c_2A_2+\cdots+c_3A_3=0$$ olsun. Eger $(c_1,c_2,\cdots,c_n)$ sifir vektor degilse bir tane $c_i$ sifir olmayan olmali. Bu durumda $$0=0\cdot A_i=(c_1A_1+c_2A_2+\cdots+c_3A_3)\cdot A_i=c_i||A_i||^2$$ yani ($c_i$ sifir olmayan oldugundan) $$||A_i||=0$$ olur. Bu da celiski verir.